专题12二次函数与动点综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（解析版）.pdfVIP

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题12二次函数与动点综合问题

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【例1】（2021•黄冈）已知抛物线y＝ax+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴

于点C，点N（n，0）是x轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．过点P作PD⊥BC于

点D，当n为何值时，△PDG≌△BNG；

（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位

长度，得到直线OB．

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①tan∠BOB1＝；

②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）由△PDG≌△BNG，得到PG＝BG＝（3﹣n），求出P的坐标为（n，﹣（3﹣n）（1+）），即

可求解；

（3）①由函数的平移得到函数的表达式为y＝x，即可求解；

②求出直线NN1的表达式为y＝﹣2（x﹣n），得到点H的坐标为（，），由点H是NN1的中点，

求出点N1的坐标为（，），即可求解．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），

则y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a，

故﹣3a＝﹣3，解得a＝1，

故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3①；

（2）①当点N在y轴右侧时，

由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），

故OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°，

则NB＝3﹣n＝NG，则BG＝（3﹣n），

∵△PDG≌△BNG，

故PG＝BG＝（3﹣n），

则PN＝3﹣n+（3﹣n）＝（3﹣n）（1+），

故点P的坐标为（n，﹣（3﹣n）（1+）），

将点P的坐标代入抛物线表达式得：（n﹣3）（+1）＝n2﹣2n﹣3，

解得n＝3（舍去）或，

故n＝；

②当点N在y轴左侧时，

同理可得：n＝﹣，

综上，n＝；

（3）①设OC的中点为R（0，﹣），

由B、R的坐标得，直线BR的表达式为y＝x﹣，

则将它向上平移个单位长度，得到直线OB，

1

此时函数的表达式为y＝x，

故tan∠BOB1＝，

故答案为；

②设线段NN1OB1于点H，则OB1是NN1的中垂线，

∵tan∠BOB＝，则tan∠NNB＝2，

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∵直线NN1的过点N（n，0），

故直线NN1的表达式为y＝﹣2（x﹣n）②，

联立①②并解得，

故点H的坐标为（，），

∵点H是NN1的中点，

由中点坐标公式得：点N1的坐标为（，），

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将点N1的坐标代入抛物线表达式得：＝（）﹣2×﹣3，

解得n＝，

故点N的坐标为（，0）或（