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实变函数课程教学方式的探讨

一、引言

实变函数是大学数学系的核心必修课之一，实变函数在数学

的许多领域中，如测度论、分形几何、泛函分析、调和分析、偏

微分方程中都产生了极大的影响。然而《实变函数》课程因其自

身的特点，该课程的高度抽象性以及较强的逻辑推理性，课程展

开的方式需要经过漫长的准备、集合论与分析相结合的处理方

法、所讨论的函数类范围的扩大以及习题量大而且难做等，都使

得学生认为其深奥晦涩、枯燥无味。进入这门课程学习时间不长，

不少?W生便对这门课程丧失了信心，犹如雾里看花，水中望月，

完全不清楚它的内容和意义，更谈不上兴趣；后期的学习情况更

糟，甚至对一些基本概念的理解都出现困难。为了更好地实施教

学，笔者从多年的教学实践中，从实变函数教学中的点滴体会出

发，就《实变函数》这门课程的教学方法与教学方式进行探讨。

Lebesgue积分是实变函数的重点内容，要掌握Lebesgue积

分的内容首先要知道引入这种积分的动机。因此，总结Riemann

积分并指出它的局限性是首堂课应该教给学生的。Riemann积分

的局限性有如下几点：（1）可积的函数种类较少，比较著名的

是Dirichlet函数不可积。（2）函数列极限和积分交换顺序的

条件太强，而且只有充分条件，例如需要函数列一致收敛的条件。

（3）从微积分基本定理来看，求导和积分运算并非算是真正的

逆运算，需要函数的连续性条件。Lebesgue积分非常完美地解

决了上述三个问题，奠定了现代分析学的基础，并为物理学、偏

微分方程等学科的发展铺好了基石。

本文首先从整体上叙述清楚实变函数的主要内容、主要思想

以及它的主要意义，这对学生了解和学习这门课程是非常有帮助

的。其次，在教学方式和方法上，我们阐述一些合理有效的教学

方式，并且提出完整完善的教学方法，以此提高课堂的教学效率

以及学生的学习效果。最后，我们对这门课程的考查方式提出一

些建议和创新。

二、实变函数的主要内容

基本的实变函数内容主要有三部分，分别是集合论、测度论

以及Lebesgue积分论。这三者是环环相扣、相互联系的，而并

非是相关独立的三个部分。

实变函数的核心内容是Lebesgue积分论，而它恰是数学分

析中Riemann积分的推广。两者都蕴含着积分的思想，只是出发

点不同。一个是对定义域进行分割取极限（Riemann积分），一

个是对值域分割取极限（Lebesgue积分）。Lebesgue本人用比

较通俗、生动的语言阐述了他所创立的积分与Riemann积分的区

别，Lebesgue这样描述他的积分：“我需要付一笔钱给别人，

有两张付款方式。第一种是从口袋里随机的一张一张地掏出来，

直到筹够了总的款项，这就是黎曼积分。第二种是把口袋里的钱

按照币值的大小做一个分类，再按照币值大小付钱直到筹够总的

款项，这就是我的积分”。明白上述这段话对理解Lebesgue积

分是非常有帮助的。

Lebesgue积分可以说是现代分析学与古典分析学的分水岭。

既然是对值域进行分割，就必要涉及到求对应定义域（一般点集）

的“长度”问题，而这就是测度论的内容，即测度本质上是长度，

面积或者体积的推广。这种推广是具有划时代意义的。测度论不

仅仅应用于实变函数这门学科，在其他很多领域都发挥着重要的

作用，如偏微分方程、调和分析等，与此同时，作为研究对象，

点集的概念和性质便应运而生，因此第一章讲集合论便顺理成

章。事实上，从历史的发展角度上看，是德国数学家Cantor首

先发展了集合论，进而才有了Lebesgue积分论。对学生而言，

集合论是一个高度抽象的事物，很难理解和掌握，这其实是一种

正常的表现。在Cantor本人研究发展集合论的时代也是遭到了

很多当代数学家的反对，包括他的导师克罗内克，法国数学家庞

加莱等。这在课堂上可以给学生讲授，不让他们失去学习的信心。

三、实变函数的教学方式

实变函数课程的内容大多是定理的推导和证明，单一的授课

方式会让学生觉得枯燥无聊，甚至会产生厌恶感。为此，针对本

门课程的特点，笔者认为可以灵活地选择如下的授课形式：

1.着重把握实变