2024—2025学年上海市宝山中学高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市宝山中学高二上学期期中考试数学试卷

一、填空题

(★)1.两条异面直线所成角的范围是________．

(★★)2.已知向量，则向量的单位向量______．

(★)3.过直线外一点有_________条直线与该直线垂直．

(★★)4.已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为______．

(★)5.将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_____cm2．

(★★)6.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则______．

(★★)7.平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为______．

(★★)

8.正四面体的所有棱长都为2，则它的体积为________．

(★★)9.在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______．

(★★★)10.如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm．

(★★)11.若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则______．

(★★)12.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为___________．

二、单选题

(★★)13.空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★)14.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若且则

B．若且则

C．若

D．若且则

(★★)15.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为

A．相交

B．平行

C．异面而且垂直

D．异面但不垂直

(★★★)16.已知异面直线a、b所成角为，P为空间一定点，则过P点且与a、b所成角都是的直线有且仅有（）条．

A．2

B．3

C．4

D．6

三、解答题

(★★)17.已知空间中三点，，，设，．

(1)求向量与向量的夹角的余弦值；

(2)若与互相垂直，求实数的值．

(★★)18.如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．

(1)证明：平面；

(2)求与平面所成角的大小．

(★★)19.如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

(★★★★)20.如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O．

(1)若圆柱的底面圆半径为，求几何体的体积；

(2)若，求几何体的表面积．

(★★★★)21.长方体中，，，分别为棱上的动点，且，

图1图2

(1)如图1，当时，求证：直线平面；

(2)如图2，当，且的面积取得是大值时，求点B到平面的距离；

(3)当时，求从点经此长方体表面到达点最短距离.