2024—2025学年上海市复旦大学附属青浦分校、上海交通大学附属中学嘉定分校、上海外国语大学附属外国语学校松江云间高二上学期期中联考数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市复旦大学附属青浦分校、上海交通大学附属中学嘉定分校、上海外国语大学附属外国语学校松江云间高二上学期期中联考数学试卷

一、填空题

(★★)1.已知集合，，则________.

(★★)2.不等式的解集为___________．

(★★)3.若,则b的值为__________.

(★)4.已知函数，（且）的图像恒过点，则点的坐标是___________.

(★★)5.已知复数对应的点到原点的距离是，则实数___________．

(★★)6.设，则不等式的解集为__________．

(★★★)7.已知，，，，则___________.

(★★)8.已知向量满足，且，则与的夹角为________.

(★★)9.若正数x，y满足，则的最小值是________.

(★★)10.记为等差数列的前项和.若，则________.

(★★★)11.已知向量，若对任意单位向量，均有,则的最大值是．

(★★★★)12.已知函数，若，实数m满足，则实数m的取值范围是___________．

二、单选题

(★)13.函数的最小正周期是（）.

A．

B．

C．

D．

(★★★)14.已知复数，则的虚部是（）

A．2

B．

C．

D．

(★★)15.已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）.

A．

B．

C．

D．

(★★★)16.已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（）

A．有3个

B．有2个

C．有1个

D．不存在

三、解答题

(★★)17.已知复数，（其中）.

(1)若为实数，求的值；

(2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值.

(★★★)18.已知函数，其中a＞0．且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于．

(1)求函数的解析式及最小正周期：

(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同解，求实数m的取值范围．

(★★★)19.将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径（图1），或让矩形一边与弦平行（图2），对于图和图，均记.

(1)记图裁出的矩形面积为，图裁出的矩形面积为，请写出矩形面积和关于的函数解析式;

(2)求的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大.

(★★★)20.在函数定义域内,若存在区间,使得函数值域为,则称此函数为“档类正方形函数”,已知函数.

(1)当时,求函数的值域;

(2)若函数的最大值是1,求实数的值;

(3)当时,是否存在,使得函数为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.

(★★★★)21.若项数为的有穷数列满足且，我们称这样的数列为数列:

(1)若数列是数列，且为等比数列，项数为2024，求该数列的通项；

(2)若数列是数列，且为等差数列，项数为且，求该数列的通项用k,n表示；

(3)若数列是数列，项数为，记的前项和为，若存在，使，试问：数列能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.