2024—2025学年上海市复旦大学附属中学高二上学期期中考试数学试卷（B卷）.docVIP

2024—2025学年上海市复旦大学附属中学高二上学期期中考试数学试卷（B卷）

一、填空题

(★★)1.若角的终边经过点，则________.

(★★)2.已知，则_____.

(★)3.已知向量，，则在方向上的数量投影为________.

(★★)4.已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为________.

(★★)5.已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为________.

(★★★)6.设，其中A＞0，，.函数，的部分图象如图所示，则该函数的表达式为________.

(★★★)7.如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为________.

(★★)8.已知向量，若向量、、共面，则实数等于__．

(★★)9.如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为，则其体积为________________.

(★★)10.在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________.

(★★)11.水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部.若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度”指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面时的，其中为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度”的余弦值为___________.

(★★★)12.光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则的大小为________.

二、单选题

(★★)13.函数的最小正周期为（）

A．

B．

C．

D．

(★)14.已知三条直线，，满足且，则与（）

A．平行

B．垂直

C．共面

D．异面

(★★)15.设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★★)16.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1?平面ABCD)，若M，O分别为线段A1C，DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）

A．与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直

B．异面直线BM与A1E所成角是定值

C．一定存在某个位置，使DE⊥MO

D．三棱锥A1-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值

三、解答题

(★★)17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角B的大小；

(2)若的面积为6，，求b的长.

(★★★)18.已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面.

(1)确定点的位置，并证明你的结论；

(2)求异面直线与所成角的大小.

(★★★)19.一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3.

(1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值；

(2)将V表示为x的函数，并求V的最大值.

(★★★)20.已知四棱锥的底面为平行四边形.

(1)若交于平面，判断是否为菱形，并说明理由；

(2)在射线上有点（均与不重合），三棱锥和的体积分别为和，求证：；

(3)设为中点，过的平面分别与棱交于点，设四棱锥和的体积分别为，求的