相似三角形解答压轴题（十二大题型，含在第1、3章的应用）（解析版）.docx

相似三角形解答压轴题（十一大题型）

目录：

题型1：传统解答证明题题型2：旋转问题

题型3：翻折问题

题型4：相似三角形与二次函数—存在性问题题型5：相似三角形与二次函数—动点问题

题型6：相似三角形与二次函数、圆

题型7：相似三角形在平面直角坐标系中的应用题型8：相似三角形与圆

题型9：相似三角形与特殊平行四边形、圆题型10：在坐标系解圆与相似三角形

题型11：情景探究题题型12：图表素材题

题型1：传统解答证明题

1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为对边AD，BC的中点，线段EF交AC

于点O，延长CD于点G，连结GE并延长交AC于点Q，连结GF交AC于点P，连结QF.

若DG=

①求证：点Q为OA的中点；

@若OA=1，上ACB=30°,求QF的长；

(2)求证：FE平分上QFP；

QF.若CD=mDG，求PF（结果用含m

QF.

【答案】

【答案】(1)①见解析；②QF=

(2)

(2)见解析

【分析】

【分析】

（

（1）①证明△QEO∽△QGC，求得QO=即可证明点Q为OA的中点；

②

②作QH丄BC于点H，由平行线分线段成比例得到求得根据直角三角形的性质

即可求解；

（

（2）延长QF与GC的延长线交于点I．证明△QOF∽△QCI，△QOE∽△QCG，由相似三角形的性质证明CI=CG．再证明上I=上FGI，据此即可证明结论成立；

（

（3）证明△QOE∽△QCG，推出．作QH丄BC于点H，PJ丄BC于点J，再证明△QFH∽△PFJ，

利用相似三角形的性质即可求解.

【解析】

【解析】（1）证明：①由题意，得EF与AC互相平分，EF平行且等于CD，

则

则△QEO∽△QGC，

即点

即点Q为OA的中点；

②

②如图，作QH丄BC于点H，

由题意，得OFⅡQH，

由

由①得QO=

∵

∵上ACB=30°,

（

（2）证明：如图，延长QF与GC的延长线交于点I.

∵EFⅡCD，

:

:上QFE=上I，上EFG=上FGI；

且

且△QOF∽△QCI，△QOE∽△QCG，

∵

∵OE=OF，

:

:CI=CG.

又

又∵FC丄GI，

:

:FI=FG，

:

:上I=上FGI，则上QFE=上EFG.

（3

（3）解：因为CD=mDG，

由

由EFⅡCD，得△QOE∽△QCG，

同理

同理

作

作QH丄BC于点H，PJ丄BC于点J，

:上QHF=上PJF=90°,

又由（

又由（2），得上QFH=上PFJ，

:

:△QFH∽△PFJ，

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，作出合适的辅助线构建全等三角形与等腰直角三角形是解本题的关键.

题型2：旋转问题

2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在△ABC中，上ACB=120。，AC=BC，CD是中线，一个以点D为顶点的60°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.

(1)如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；

(2)如图2，在上EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2=CE.CF恒成立；

(3)若CD=3，CF=3，求CN的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析(3)3

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到上BCD=上ACD=60°,邻补角的定义得到上BCE=上ACF=60°,于是得到上DCE=上DCF=120°,证明△DCE≌△DCF(SAS)，根据全等三角形的性质即可的结论；

（2）证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2=CE.CF；

（3）过点D，E分别作DH丄BC,EG丄BC，垂足分别为H，G，利用含30度的直角三角形及勾股定理求

出DH,EG，进而得到证明△DNH∽△ENG，得到即可求出HN，进而得出结果.

【解析】（1）证明：Q上ACB=120。，AC=BC，CD是中线，

:CD是DACB的角平