专题24二次函数与动点综合型问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案（解析版）【江苏专用】.pdf

备战2021年中考数学经典题型讲练案（江苏专用）

专题24二次函数与动点综合型问题

【方法指导】

动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的

最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题．

在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正

确的解题方法．

【题型剖析】

2

【例1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝x+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），

1

与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C

两点．

（1）求k的值和点C的坐标；

（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；

（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE恰有一个公共点，

2

结合函数的图象，求a的取值范围．

【分析】（1）先求出平移后解析式，将点B坐标代入可求k的值，即可求直线解析式，可得点C坐标；

（2）将点B，点C坐标代入解析式可求抛物线解析式，即可求点D坐标；

（3）利用函数图象列出不等式组，即可求解．

【解析】（1）∵将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度，

∴平移后直线解析式为：y＝kx+3，

∵直线y＝kx+3经过点B（3，0），

∴3k+3＝0，

∴k＝﹣1，

∴平移后解析式为：y＝x+3，

∵y＝﹣x+3与y轴的交点为C，

∴y＝0+3＝3，

∴点C（0，3）；

2

（2）∵抛物线y＝x+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3），

c=3

∴，

0=9+3+

b=―4

解得，

=3

∴抛物线C1的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣22﹣1，

∴顶点D的坐标为（2，﹣1）；

（3）∵抛物线C：y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点，

1

∴点A（1，0），点B（3，0），

∵点E是点D关于原点的对称点，

∴点E的坐标为（﹣2，1），

如图，

a×1―2＜0

由图象可得：2，

×(―2)―2≥1

3

∴a的取值范围是≤a＜2．

4

3

【变式训练】如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点

2

C坐标为（8，0），连接AB、AC．

（1）请直接写出二次函数的表达式；

（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的

坐标；

（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面

积最大时，求此时点N的坐标．

【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解；

（2）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于

一个点，即可求得点N