讲“定积分概念”时贯穿的内容.pdfVIP

讲课时贯穿的内容

1．在引入定积分的定义前，通过计算机模拟的效果来讲解如何减小求曲边梯形

面积的误差。

2．求曲边梯形的面积时要讲解此过程所包含的哲学思想。

3．在用定积分的定义求曲边梯形的面积时，一要培养学生的归纳思维，例如杨

辉三角。二要注意培养学生的发散思维，即用多种方法求解

在这方面，数学王子高斯做得非常好。他对“代数基本定理”，先后给出了4

种不同的证明；他对数论中的“二次互反律”，先后给出了8种不同的证明。

你比如说，勾股定理，欧几里德方法，就有四百多种证法，而且还有一种方

法叫做总统法。在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位

中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔

德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈

论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个

小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝

在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩

头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么

斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角

边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索

地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先

生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋

味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经

过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

他是这样分析的，如图所示：

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定

理的这一证法。

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定

理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。

在讲定积分的定义时，要介绍傅立叶和黎曼。

傅立叶

傅里叶（JeanBaptisteJosephFourier，1768～1830）,法国数学家、物理学家。

1768年3月21日生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，1830年5月16日卒于巴

黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17

岁（1785）回乡教数学，1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到

巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院

秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822

年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。

1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》（Theorieana1ytiquedela

Cha1eur，Didot，Paris，1822），解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，

成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展

产生深远影响。

【主要贡献】

■数学方面

主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交

《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数

可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的

无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。

其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数

的判别法等。

傅里叶变换的基本思想首先由傅里叶提出，所以以其名字来命名以示纪念。

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条

件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里

叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅立叶傅立叶变换属变换属于于调调和分和分析析的的内容内容。。分分析析二字，可以解释为深入的研究。从字面

上来看上来看，，分分析析二字二字，，实际就是实际就是条条分分缕析缕析而已而已。。它通过对函它通过对函数的数的条条分分缕析缕析

来达来达到到对复杂函对复杂函数的数的深深入理入理解解和研究。和研究。从哲从哲学学上看上看，，分分析析主义主义和和还原还原主义主义，

就是要