专题25 费马点（原卷版）.pdf

专题25费马点

A

费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点。

模型：如图，已知∆ABC中所有内角都小于120°，且其内部有一点P，连接PA、PB、

P

PC，当PA+PB+PC的值最小时，求∠APC、∠APB、∠BPCBC

【思路】将PA、PB、PC三条分散的线段转化为连续的折线，然后借助两点之间的线段最短找到符合条件的

点P。

求解过程：

A

将∆APB绕着点B逆时针旋转60°得到∆A’P’BA

P

则∆APB≌∆A’P’B∴BP=BP’AP=AP’∠A’P’B=∠APB

P

C

而∠P’BP=60°则∆P’BP为等边三角形B

∴∠BPP’=∠P’BP=∠BP’P=60°

∵PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≤A’C

A

∴当A’、P’、P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值A’CA

P

此时∠BPC=180°-∠BPP’=120°

P

∠APB=∠A’P’B=180°-∠BP’P=120°

BC

∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°

【进阶】已知∆ABC，如何作费马点？

①已知∠BAC120°

D

DDAE

AAEAE

P

P