专题25 锐角三角函数的实际应用（解析版）.pdf

专题25锐角三角函数的实际应用（解析版）

第一部分典例剖析

类型一与学科间相关的实际应用问题

典例1（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，

老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶

AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距

离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）

思路引领：连接MC，过点M作HM⊥NM，根据题意可得∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，

AB＝MC＝8m，AB∥MC，从而利用平行线的性质求出∠CMN＝62°，进而求出∠CMH＝28°，然后在

Rt△CMD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．

解：连接MC，过点M作HM⊥NM，

由题意得：

∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，

∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，

∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，

∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，

在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），

∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

的关键．

类型二与坡度、坡角相关的实际问题

典例2（2021秋•宁德期末）自卸式货车可以实现自动卸货，其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜

角度，如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图，其液压臂底座A与车厢转轴O的距离AO＝

2.4m，伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO＝2m，当车厢底座与车架底座的夹角∠AOB＝37°时，求

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液压臂AB的长．（结果保留根号，参考数据sin37°=，cos37°=，tan37°=）

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思路引领：过点B作BC⊥OA于C，先在Rt△OBC中求出BC，OC，再求出AC，然后在Rt△ABC中求

出AB即可解决问题．

解：过点B作BC⊥OA于C，如图．

在Rt△OBC中，∠OCB＝90°，∠BOC＝37°，BO＝2，

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∴BC＝OB•sin∠BOC＝2×=，

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48

OC＝OB•cos∠BOC＝2×=，

55

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∴AC＝OA﹣OC＝2.4−=，

55

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，

46213

∴AB=2+2=(5)2+(5)2=5．

213

故液压臂AB的长为m．

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总结提升：本题考查了解直角三角形，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把

实际问题转化为数学问题．

类型三与方向角相关的实际问题

典例3（2021秋•和平区校级月考）如图，甲船以每小时30