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《垂直关系》疑难破解

疑难1与垂直有关的探索性问题

【讲解】

1.空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直,这三种关系不是独立的,而是相互关联的.它们之间的关系如下:

2.解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形,求出一些所需要的条件,解决一些较复杂的问题,要注意转化思想的应用.

例题1如图,已知三棱柱的侧棱垂直于底面,,点分别为和的中点.当为何值时,平面?试证明你的结论.

【思路点拨】

设的长度为,利用平面列出方程求解.

解析连接,设,

由题意知,

∵三棱柱的侧棱垂直于底面,

∴平面平面.

∵,

又点是的中点,∴,

又平面平面,

∴平面.

要使平面,只需即可.

在Rt中,,

由,得,∴当时,平面.

例题2如图,四棱锥的底面为直角梯形,平面,在线段上是否存在一点,使平面平面?若存在,说明点位置;若不存在,请说明理由.

【思路点拨】

要使平面平面,可在平面内找一直线垂直于平面,易得,则只需在线段上找到一点,使得即可.

解析在线段上存在点,使平面平面,此时.证明如下:

∵平面.

∵,

∴平面,

∵平面,

∴平面平面.

在直角梯形中,,,

∴,

∴.

由,可得,

在中,可得

,

由正弦定理可得,

即,得.

又易知.

∴线段上存在点,使平面平面,点为的中点.