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交大附中2024学年第一学期高一年级数学月考
2024.10
一、填空题（本大题满分42分，前6题每题3分，后6题每题4分）
1．已知集合至多有一个元素，则的取值范围是________．
2．用列举法表示集合________．
3．已知集合，，若，则的最小值为________．
4．不等式的解集是________．
5．已知，，则的取值范围为________．
6．设为实数，若关于的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则的取值范围是________．
7．已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围为________．
8．已知集合，且，，则实数的取值范围是________．
9．若集合，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是________．
10．已知以任意恒成立，则实数的取值范围
为________．
11．设，且，则的最小值为________．
12．设，，，是正实数，则的最大值为________．
二、选择题（本大题满分14分，前2题每题3分，后2题每题4分）
13．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数、、中至多有一个是偶数”的正确假设为（）
A．自然数、、中至少有一个是偶数B．自然数、、中至少有两个是偶数
C．自然数、、都是奇数D．自然数、、都是偶数
14．已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于的方程的解集为（）
A． B．
C． D．
15．设，，若不等式的解集是，则的值为（）
A．9 B． C．3 D．
16．设正实数、、满足，则当取得最大值时，的最大值为（）
A．9 B．1 C． D．4
三、解答题（本大题满分44分）
17．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围．
（2）若，求实数的取值范围．
18．（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
求下列关于的不等式的解集：（为实数）
（1）；（2）；（3）．
19．（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
已知集合中的元素均为正整数，其中且．若对任意，，都有，则称集合具有性质．
（1）集合具有性质，求的最小值；
（2）已知集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为，，求证：；
（3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由．
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参考答案
一、填空题
1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.
11．设，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为,所以,
因为,所以,
所以
当且仅当,即,时取得最小值.故答案为:.
二、选择题
13.B14.D15.B16.B
15．设，，若不等式的解集是，则的值为（）
A．9 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】上式等价于,
解得，故选B
16．设正实数、、满足，则当取得最大值时，的最大值为（）
A．9 B．1 C． D．4
【答案】B
【解析】由已知得,且为正实数.(*)
则1,
当且仅当时取得最大值1,把代入(*)式,得,
所以.
所以当取最大值时,的最大值为1.故选B
三．解答题
17.（1）（2）
18.（1）；（2）分类讨论；（3）分类讨论；
19．（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
已知集合中的元素均为正整数，其中且．若对任意，，都有，则称集合具有性质．
（1）集合具有性质，求的最小值；
（2）已知集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为，，求证：；
（3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由．
【答案】（1）6（2）证明略（3）9，
【解析】(1)由性质定义知:,解得,且,所以的最小值为6.
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