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层次分析法

（analytichierarchyproce,AHP）

一、概述

将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上

对人的主观判断做定量描述的一种分析方法。它并不是一种数学模型，而

是定量分析与定性分析相结合的典范。

基本步骤：

1、将问题概念化，找出研究对象所涉及的主要因素。

2、分析各因素的关联、隶属关系，构造系统的递阶层次结构。

3、对同一层次的各因素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两

比较，构造判断矩阵。4、由判断矩阵计算被比较因素对上一层次该准则

的相对权重，并进行一致性检验。

5、计算各层次因素相对于最高层次，即系统目标的合成权重，进行

层次总排序，并进行一致性检验。

二、基本原理与计算方法（一）递阶层次结构

目标层：最高层，只有一个元素

准则层：中间层，可以分为若干个层次方案层：最底层，也就是措施

层

完全层次关系：如果某个元素与下一层次中的所有元素都有关系不完

全层次关系：如果某个元素只与下一层次中的部分元素有关系完全层次结

构：如果一个递阶层次结构的所有层次都是完全层次关系不完全层次结构：

反之

主要特征:

1.从上到下顺序地存在支配关系

（二）判断矩阵的建立

在构建出递阶层次结构后，再按照某一准则，对同一层次的元素相对

于上一层次的某个元素进行一对一的比较，按标度构造出判断矩阵。

标度形式：

绝对标度：常用的重量、体积、长度、温度等剂量单位相对标度：大

多数社会经济现象，运用两两比较的方法b

1~9的比例标度

标度bij含义1表示两个因素相比，具有相同的重要性35792,4,6,8

倒数表示两个因素相比，i因素比j因素稍微重要表示两个因素相比，i

因素比j因素明显重要表示两个因素相比，i因素比j因素强烈重要表示

两个因素相比，i因素比j因素极端重要上述两相邻判断的中值Bij表示

j元素与i元素的比较判断，有bij=1/bij

AkB1B2...Bi...Bn

B1a11a21...ai1...an1B2a12a22...ai2...an2Bj

a1ja2j...aij...anjBna1na2n...ain...annaij

0aji=1/aijaii=1

当元素间的两两比较判断具有传递性时，有

aik.akj=aij

当对i,j,k=1,2...，n时，上式成立则称该判断矩阵为一致性矩阵；

否则判断矩阵为不一致矩阵。在AHP中，判断矩阵通常为不一致性矩阵。

（三）单一准则下的排序

1.特征根和特征向量

2.最大特征根计算方法

（1）方根法

计算判断矩阵A的每一行元素的乘积Mi计算Mi的n次方根Wi

WinMi

T（W1，W2，...,Wn）对向量W归一化，即

WiWiWkk1n

则w(w1,w2,...,wn)T即为所求的特征向量。计算判断矩阵的最大特

征根

(AW)ima某ii1nW

式中：（AW）i向量（AW）的第i个分量

n(四)一致性检查

当n阶判断矩阵A具有完全一致性时，其最大特征根ma某=n，其余

的特征根均为零。我们可以用特征根λ1，λ2，...λn的负平均值偏零

的大小来衡量判断矩阵元素受扰动的程度，即作为判断矩阵不一致程度的

衡量，记为μ

ma某nn1

我们把μ定义为判断矩阵的一致性指标C.I.，即

C.I.ma某nn1

显然，C.I.值越小，矩阵的一致性程度越好。对于不同阶数的判断矩阵，

为达到满意一致性的C.I.临界值应该不同。这就需要对C.I.临界值根据

判断矩阵的不同阶数进行修正。平均随