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有理数、代数式中的规律计算题

1．观察下列等式，，，，，……

(1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立；

(2)根据上述规律计算：①；

②．

2．（1）知识探究：，，，……，上述括号按顺序填写为_____、______、_____；

（2）发现规律：试写出第n个等式，并证明此等式成立；

（3）拓展应用：计算．

3．探究发现：

(1)填空：①______，______；

②______，______；

(2)根据上面的计算，你肯定能发现其中的规律，请利用你的发现来计算：．

4．新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律：

，

，

，

，

(1)直接写出新定义运算律：______；

(2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由；

(3)先化简，再求值：，其中

5．观察下列等式：

第1个等式：

第2个等式：

第3个等式：

第4个等式：

…

请解答下列问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：_____；

(2)求的值；

6．观察下列各式：；；；；；

(1)探索式子的规律，试写出第个等式；

(2)运用上面的规律，计算；

(3)计算：．

7．（1）填空：；；；

（2）探寻（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；

（3）计算．

8．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

(1)在④后面的横线上写出相应的等式：

①；②；③；④______；⑤；…

(2)请写出第个等式：______；

(3)利用（2）中的等式，计算：．

9．阅读理解题：

【材料一】我们知道，根据乘方的意义：，，．

（1）计算：

①______；

②______．

（2）通过以上计算发现规律，得到______．

【材料二】我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作，那么有：

；

；

；

…

观察上面式子的规律，完成下面各题．

（3）猜想出______（用n表示）．

（4）依规律，直接求出的值为______．

（5）根据材料一，材料二的规律，可得的值为______．

10．请你观察：

，

，

；…

；

；

以上方法称为“裂项相消求和法”．

请类比完成：

(1)猜想并写出：______；

(2)规律应用：计算：；

(3)拓展提高：计算：．

参考答案

1．观察下列等式，，，，，……

(1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立；

(2)根据上述规律计算：①；

②．

【答案】(1)，理由见解析

(2)①；②3

【分析】本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键．

（1）利用已知等式找出规律可得，将变形为即可证明；

（2）①结合（1）中结论，利用裂项相消法求解；②结合（1）中结论，利用裂项相消法求解．

【详解】（1）解：根据已知等式可得第n个等式为：，

理由如下：

；

（2）解：①

；

②

．

2．（1）知识探究：，，，……，上述括号按顺序填写为_____、______、_____；

（2）发现规律：试写出第n个等式，并证明此等式成立；

（3）拓展应用：计算．

【答案】（1）0，1，2；（2），证明见解析；（3）．

【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

（1）计算出各个式子的值即可；

（2）根据（1）中式子的特点，可以写出第个等式，然后再计算，即可说明第个等式成立；

（3）先设，则，然后错位相减，即可得到所求式子的值．

【详解】解：（1），，，，

故答案为：0，1，2；

（2）第个等式是，

理由：

，

第个等式是；

（3）设，则，

，

即．

3．探究发现：

(1)填空：①______，______；

②______，______；

(2)根据上面的计算，你肯定能发现其中的规律，请利用你的发现来计算：．

【答案】(1)①；；②；

(2)

【分析】（1）根据有理数的乘方计算法则和有理数的加法计算法则求解即可‘

（2）根据（1）计算的结果可得规律，据此先求出的结果，再由进行求解即可．

【详解】（1）解：①，，

故答案为：；；

②，，

故答案为：；；

（2）解：由（1）可得，

，

又，

∴以此类推可知，

∴

，

∴

．

【点睛】本题主要考查了有理数的乘方计算，数字类的规律探索，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键．

4．新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律：

，

，

，

，

(1)直接写出新定义运算律：______；

(2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由；

(3)先化简，再求值：，其中

【答案】(1)

(2)新运算“”不满足交换律，见解析

(3)，

【分析】本题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，理解定义的新运算是解题的关键．

（1）从数字找规律进行计算，即可解答；

（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答；

（3）按照定义的新运算先进行化简，然后