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高一立体几何解答题以多面体体积与存在性问题为主

一．解答题（共15小题）

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．

（1）求证：DC⊥平面PAC；

（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；

（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．

2．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；

（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．

3．如图，在直三棱柱ABC﹣ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱BB

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上，且BD⊥AF，AC⊥AB．求证：

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（1）直线DE∥平面ACF；

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（2）平面BDE⊥平面ACF．

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4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．

第1页老王伴你飞

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．

5．如图，在正方体ABCD﹣ABCD中，E、F为棱AD、AB的中点．

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（Ⅰ）求证：EF∥平面CBD；

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（Ⅱ）求证：平面CAAC⊥平面CBD．

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6．（1）定理：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条直线垂直

于斜线．

试证明此定理：如图1所示：若PA⊥α，A是垂足，斜线PO∩α=O，a⊂α，a⊥AO，试证明

a⊥PO

（2）如图2，正方体ABCD﹣ABCD中，点P在侧面BCCB及其边界上运动，并且总

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是保持AP⊥BD，试证明动点P在线段BC上．

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7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、

E分别是BC、AP的中点，

（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；

（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．

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8．如图，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=，

SA=SC=SD=2．

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣SAD的体积．

9．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰

好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．

（Ⅰ）求证：BD⊥PC；

（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC．

10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA是四棱锥P﹣ABCD的高，

PA=AB=2，点M，N，E分别是PD，AD，CD的中点．

（1）求证：平