2024—2025学年山东省临沂市部分县区（河东区、沂水县等）高二上学期学科素养水平监测（期中）数学试卷.docVIP

2024—2025学年山东省临沂市部分县区（河东区、沂水县等）高二上学期学科素养水平监测（期中）数学试卷

一、单选题

(★)1.向量，，若，则（）

A．

B．，

C．，

D．，

(★)2.过，两点的直线的倾斜角为，则等于（）

A．

B．

C．，

D．1，2

(★★★)3.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（）

A．；

B．；

C．；

D．；

(★★)4.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（）

A．

B．9

C．6

D．5

(★)5.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则的关系式为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知为圆上任意一点，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.已知直线和直线，下列说法正确的是（）

A．始终过定点

B．若，则或

C．若，则或2

D．当时，经过第三象限

(★★★)10.如图，点是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则（）

A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变

B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是

C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是

D．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为

(★★★)11.已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点且，直线与椭圆的另一个交点为，且，则下列结论正确的是（）

A．椭圆的长轴长是短轴长的倍

B．线段的长度为

C．椭圆的离心率是

D．的周长为

三、填空题

(★★★)12.设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）.

(★★★)13.由曲线围成的图形的面积为_______________．

(★★★)14.定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则____________.

四、解答题

(★★)15.已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为.求

(1)顶点的坐标；

(2)直线的方程.

(★★★)16.如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，.

(1)求四棱锥的体积；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

(★★★)17.已知圆经过点和，并且圆心在直线上，

(1)求圆的标准方程；

(2)直线交圆于两点，若直线的斜率之和为0.求证：直线的斜率是定值，并求出该定值.

(★★★)18.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆:.

(1)若椭圆:，试判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由.

(2)写出与椭圆相似，且短半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围.

(★★★★★)19.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.

(1)证明：平面平面；

(2)求到平面的距离；

(3)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为；若存在，求的值；若不存在，说明理由.