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第9章重积分

9.1二重积分

1学习指导

1.基本要求

⑴理解二重积分的概念，知道二重积分的性质。

⑵掌握二重积分的计算方法，能够熟练地计算各种类型的二重积

分。

⑶会利用二重积分解决几何、物理中的主要应用。

2.重点与难点

重点二重积分的概念、计算和在几何、物理中的主要应用。

难点计算二重积分时选择合适的坐标系、积分顺序并恰当地配置

累次积分的积分限，二重积分在物理上的应用。

3.学习方法

⑴二重积分是定积分的推广，因此研究方法、定义、性质都是类似

的，学习时应与定积分类比，温故知新，并注意有些性质的几何意义，

以便理解和记忆。

⑵计算二重积分的关键是在直角坐标系或极坐标系下将其化为累次

积分，选择坐标系和累次积分顺序的目的是使计算简便，它包含两

点：一是对被积函数易于寻求原函数；二是对积分区域分块要少且定

限容易，当二者不能兼顾时，一般以简化积分区域为主。通常，当区域

是圆形域、扇形域、环形域或它们的一部分，被积函数含有因子

n

22或等形式时，利用极坐标计算较简便，其余情况多采用直

（X+yFI

X

角坐标系，有时需利用变量代换去计算二重积分。

⑶化二重积分为累次积分的一般方法是“画图定限法”，即画出积

1

分区域的草图，将它分割成几个简单区域（-型区域，型区域或

DXY-9

一型区域），在直角坐标系下是先对哪个变量积分，就在区域D

上画哪个坐标轴的平行线，而在极坐标系下，则是从原点出发画射线,

以此确定累次积分的上下限，此法可形象地叙述为“域中一线插，内限

定上下，域边两线夹，外限利用它”。当区域D的草图不易画出时,可以

采用“代数定限法”，即联立区域边界曲线组成的不等式组来分别确定

各积分变量的变化范围，从而得到累次积分的各个积分限，有时也兼

顾应用两种方法综合定限，注意将二重积分化为累次积分时先

积分的上下限是常数或后积分的积分变量的函数，而后积分的积分上

下限都为常数；同时，两次积分的下限都小于上限，切不可弄错。

⑷计算二重积分时，还须考虑积分区域的对称性及被积函数的奇偶

性，尽可能地简化积分计算，在审题过程中注意以下几个原则:是图形

的对称性及被积函数的奇偶性；二是坐标系的选择；三是积分次序的

先后顺序；四是计算定积分的准确性，从而更好掌握这一单元的学习。

⑸在计算及理论研究中，有时需要对已知二次积分变换积分顺序，

更换的方法是:

由已知二次积分的上下限，写出表示积分区域D的不等式组，画

出积分区域的草图，应注意不论已知二次积分由几项组成，区域

DD

的草图都要在一个坐标系下画出，然后根据区域D的草图，确定另一

种顺序的二次积分的上下限，有时还需改变坐标系后再确定相应的二次

积分的上下限。

⑹二重积分的元素法既是定积分微元素法的推广，也是三重积分、

曲线积分、曲面积分元素法的基础，应掌握用二重积分元素法导出的解

决几何和物理问题的计算公式，这不仅可解决二重积分的应用问题，还

可以把这些公式推广到三重积分和线、面积分中去。一般而言，只需将

公式中的积分号“”分别改为相应的积分号“川”

U

DQ

“”或“”，被积函数从二元函数改为相应的多元函数。应用积

L

分方法解决应用问题的一般步骤如下: