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均值定理及其在微积分中的应用

一、介绍均值定理

均值定理，是微积分中非常重要的概念之一。它的基本思想非

常简单，就是用一个函数在某个区间内的平均值和边界处的函数

值之间建立了一个关系。它在微积分中的应用很广泛，我们将在

下文中详细介绍。

二、均值定理的公式

我们先来看一下均值定理的公式。设有一个函数$f(x)$在区间

$[a,b]$上连续，则在$(a,b)$内至少存在一点$c$使得：

这个公式的意义很明显：函数在区间内的平均值等于函数在边

界处的平均值。或者说，如果我们知道了一个函数在某个区间内

的平均值，那么我们就可以得到它在某个点处的函数值。

三、均值定理的证明

均值定理的证明非常简单，我们不妨采用反证法。假设均值定

理不成立，即不存在任何一个点$c$满足上式。那么意味着函数

在整个区间上都不相等，也就是说必然存在两个点$x_1$和$x_2$，

满足$f(x_1)

eqf(x_2)$。不妨设$f(x_1)f(x_2)$。那么我们可以

取两个半区间$[a,x_1]$和$[x_1,x_2]$，分别求出它们内部的平均

值。易得：

两边取极限，得到：

这显然与我们的假设矛盾。因此，均值定理成立。

四、均值定理的应用

均值定理在微积分中的应用非常广泛，下面我们就举几个例子

来说明。

1.拐点定理

我们知道，函数的拐点是指函数在该点处曲线的凸凹性发生改

变的点。对于一个二次函数，它的拐点就是抛物线的那个顶点。

使用均值定理可以证明拐点定理，也就是说，函数的拐点必然在

函数导数的零点处。

证明非常简单，我们假设函数在某个地方是凸的，那么就可以

使用均值定理，得到一个矛盾的结论。具体来说，假设函数在

$[a,b]$上是凸的，即有$f(x)0$，则对于$ax_1x_2b$，有：

$$

rac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

rac{f(x_1)-f(a)}{x_1-a}

rac{f(b)-f(x_2)}{b-x_2}$$

上式两边分别取极限，得到：

与假设矛盾，因此结论成立。

2.柯西中值定理

柯西中值定理是一个非常重要的定理，它的表述是：如果两个

函数在某个区间内都是连续的，且一个函数在该区间内处处可导

且导数不为零，那么这两个函数在该区间内至少有一点满足它们

的导数的比值等于它们在该点处的函数值的比值。使用均值定理

可以证明这个定理，也即是说，柯西中值定理是均值定理的一个

推论。

证明方法是很简单的，我们直接考虑函数$f(x)$和$g(x)$的导

数的比值，即：

使用均值定理，我们可以证明上式中存在一个点使用均值定理，我们可以证明上式中存在一个点，

满足满足，其中

$$f(c)=A$$

因此，平均值不等式得证。

五、总结

均值定理是微积分中一个非常重要的概念，它的应用非常广泛。

本文介绍了均值定理的公式和证明方法，并以拐点定理、柯西中

值定理和平均值不等式为例，介绍了均值定理的应用。在学习微

积分的过程中，熟练掌握均值定理是非常重要的。