双曲线与直线：几何最值(教师版)--初中数学四维三难【人教版】.pdf

双曲线与直线：几何最值

一、课堂目标

熟悉并解决一类以双曲线和直线为背景的几何最值问题．

二、知识讲解

例题1

如图，直线与轴交于点，与反比例函数（）的图象交于点，过作

轴于点，且．

（1）求的值．

（2）点是反比例函数（）图象上的点，在轴上是否存在点，使得

最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）．

（2）点坐标为．

【解析】（1）由可知，即．

∵，

∴．

∵轴，

∴点的横坐标为．

∵点在直线上，

∴点的纵坐标为．即．

1

∵点在上，

∴．

（2）存在．

过点作关于轴的对称点，连接，交轴于（如图所示）．此时

最小．

∵点在反比例函数（）上，

∴．即点的坐标为．

∵与关于轴的对称，点坐标为，

∴的坐标为．

设直线的解析式为．

由解得，．

∴直线的解析式为．

令，得．

∴点坐标为．

【标注】【知识点】反比例函数与最值问题

练习1

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点

作轴的垂线，垂足为，面积为．

2

（1）求反比例函数的解析式．

（2）在轴上求一点，使的值最小，并求出其最小值和点坐标．

【答案】（1）．

（2）

，．

【解析】（1）∵反比例函数的图象过点，

面积为，

∴，

∵，

∴，

故反比例函数的解析式为：．

（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小．

由，解得，或

，

∴，，

∴，

∴的最小值

．

设直线的解析式为，

则，解得，

∴直线的解析式为，

∴时，，

3

∴点坐标为