2024—2025学年上海市曹杨第二中学高三上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市曹杨第二中学高三上学期期中考试数学试卷

一、填空题

(★)1.已知集合，，则__________.

(★★)2.函数在区间上的平均变化率为________.

(★★)3.不等式的解集为________.

(★)4.若圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为________.

(★★)5.若，则________.

(★★)6.在的二项展开式中，系数最小的项为________.

(★★★)7.经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________.

(★★★)8.设.若是函数的极大值点，则________.

(★★★)9.在中，是边的中点.若，，，则________.

(★★★)10.设，令，若存在实数，则的取值范围是________.

(★★★)11.设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为________.

(★★★)12.设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为________.

二、单选题

(★★)13.已知，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)14.已知是直二面角，直线在平面上，直线在平面上.若、均与既不平行，也不垂直，则与的位置关系是（）

A．可能垂直，也可能平行

B．可能垂直，但不可能平行

C．不可能垂直，但可能平行

D．既不可能垂直，也不可能平行

(★★★)15.已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条件

(★★★)16.设，.若对任意实数，都有，则满足条件的有序数对的个数是（）

A．无数个

B．3个

C．2个

D．1个

三、解答题

(★★★)17.设向量，，.

(1)求函数的最小正周期及单调增区间；

(2)在中，角、、的对边分别为、、.若，，且，求的面积.

(★★★)18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，，且.

(1)求证：平面平面；

(2)设为的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.

(★★★)19.2024届起，上海实行高考改革新方案.新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级540名学生选科方案的意向，按性别分层抽样，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

性别

人数

物理

化学

生物

政治

历史

地理

男生

20

20

20

8

2

3

7

女生

16

6

6

16

4

10

6

(1)估计该学校高一年级全体男生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数；

(2)从选取的20名男生中随机选出2名，求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率；（结果用最简分数表示）

(3)已知选取的16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从选取的16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率.（结果用最简分数表示）

(★★★★)20.已知椭圆的离心率，上顶点为.

(1)求的方程；

(2)设是直线上一点，点满足.若经过点，求点的坐标；

(3)过的右焦点作不垂直于轴的直线，交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的值.

(★★★★)21.设函数的定义域为开区间.若存在，使得曲线在处的切线与曲线只有唯一的公共点，则称切线是函数的一条“切线”.

(1)求证：直线是函数的一条“切线”；

(2)设，求证：函数存在无数条“切线”；

(3)设，.若曲线在处的切线是函数一条“切线”，求的取值范围.