2024—2025学年云南省昆明市高三上学期12月大联考数学试卷.docVIP

2024—2025学年云南省昆明市高三上学期12月大联考数学试卷

一、单选题

(★)1.已知集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为，则该圆锥的体积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.已知，且满足，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.已知向量，，则的最小值为（）

A．1

B．

C．2

D．4

(★★★)6.下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数，，都有”的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知函数，若在区间上单调，在处取得最大值，且.将曲线向左平移1个单位长度，得到曲线，则函数在区间上的零点个数为（）

A．4

B．5

C．6

D．7

(★★)8.已知函数，，，，则的大小关系是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★★)9.下列说法正确的是（）

A．数据、、、、的第百分位数是

B．若随机变量服从正态分布，，则

C．张彩票中只有张能中奖，现从中一次性抽取张，若其中至少有一张中奖的概率大于，则的最小值为

D．已知数据、、、的平均数为，方差为，现加入和两个数，则这个数的方差

(★★★)10.已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（）

A．若在上单调递增，则实数的取值范围是

B．有3个零点

C．在上的最小值为

D．在R上恒成立

(★★★)11.如图，已知圆，过原点作射线交圆于点（异于点），交直线于点（异于点），再以为圆心、线段的长为半径作圆与射线交于点，记点的轨迹为曲线.设，，则下列说法正确的是（）

A．曲线上所有点的横坐标的取值范围是

B．

C．曲线的方程为

D．过点且与垂直的直线必与抛物线相切

三、填空题

(★★)12.函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为______.

(★★)13.甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为，没有平局，各局比赛的结果互不影响.约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束.设最终比赛局数为，则______.

(★★★)14.过双曲线的左焦点作轴的垂线，为上一动点，已知，，若的最大值为，则双曲线的离心率为______.

四、解答题

(★★★)15.记的内角，，所对的边分别为，，，已知，.

(1)求；

(2)若的周长为，求的面积.

(★★★)16.如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为，，点为椭圆上两点（均位于轴上方），且满足，面积的最大值为2，椭圆的离心率小于，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证：为定值.

(★★★★)17.已知函数.

(1)若，求证：；

(2)若且在上恒成立，求的最大值.

(★★★)18.如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，.延长至点，使得，连接.

(1)证明：；

(2)求二面角的余弦值；

(3)若点，分别是直线，上的动点，求的最小值.

(★★★★★)19.设数列是一个无限数列，若对于一个给定的正整数，不等式对每一个大于的正整数都成立，则称是阶友好数列.

(1)若，证明：是2阶友好数列，但不是1阶友好数列.

(2)若是1阶友好数列，为数列的前项和.

证明：①；

②.