2024—2025学年上海市复旦大学附属中学高二上学期10月月考数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市复旦大学附属中学高二上学期10月月考数学试卷

一、填空题

(★)1.五棱柱有______个顶点.

(★★)2.已知则______________.

(★★)3.如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为_________.

(★★)4.已知，则___________.

(★★★)5.在正方体中，与垂直的面对角线有___________条.

(★★)6.函数的最小正周期是__________.

(★★)7.二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是___________.

(★★)8.已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为___________.

(★★★)9.设，其中，若函数为偶函数且函数在上是减函数，则的取值范围是___________.

(★★★)10.如图，在长方体中，，，，、分别为棱、的中点，动点在长方体的表面上，且，则点的轨迹长度为______.

(★★★★)11.如图所示，已知正方体的棱长为，为面对角线上的动点，为中点，则的最小值为________.

(★★★★)12.四面体的四个面的面积之和称为该四面体的全面积.过全面积为500的四面体的每个顶点，作一个平面与另外三个顶点所在平面平行，则由作出的这四个平面所围成的新的四面体的全面积是___________.

二、单选题

(★)13.若，则为（）.

A．第一、四象限的角

B．第二、三象限的角

C．第一、三象限的角

D．第二、四象限的角

(★★★)14.已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（）条件.

A．充分非必要

B．必要非充分

C．充分必要

D．既非充分又非必要条件

(★)15.下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（）.

A．

B．

C．

D．

(★★★)16.过平面外一点作三条直线与该平面相交，已知.与与夹角分别为.设三条直线与平面所成角分别为，给出如下的两个命题，则（）.

命题（1）:的最大值是，没有最小值：

命题（2）:的最大值是，没有最小值.

A．命题（1）为真命题，命题（2）也为真命题

B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题

C．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题

D．命题（1）为假命题，命题（2）也为假命题

三、解答题

(★★★)17.如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是弧的中点.

(1)求该圆柱的表面积和体积

(2)求直线与圆柱底面所成角的正弦值

(3)求异面直线与所成角的余弦值.

(★★★)18.已知在中，角的边分别为，.

(1)求角的大小；

(2)若，求内切圆的半径.

(★★★)19.如图，在长方体中，，点、分别是的中点.

(1)求证：；

(2)求证:平面平面；

(3)求点到平面的距离.

(★★★★)20.如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点.

(1)求证:平面

(2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

(3)若，二面角为，求的余弦值.

(★★★★)21.在自然界中，蜂巢是蜜蜂的家园，由紧密排列的六角形蜂房连结在一起组成（如图1所示）.研究发现，蜂房的形状为曲顶多面体，其中开口的下底面可以近似看成平面正六边形，而蜂房的上顶，由三个全等的菱形闭合组成（如图2所示），蜂房的侧棱均垂直于底面，且满足关系.蜂房上顶的弯曲度可用曲率来刻画，定义其弯曲度的度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率定义为减去蜂房多面体在该顶点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.

(1)求蜂房上顶的曲率；

(2)若图2所示的蜂房满足，求