2.方差分析（09级 温淑平修正均值为μ）.doc

第2章方差分析

2.1概述

方差分析（analysisofvariance）是数理统计的基本方法之一，是分析试验数据的一种有效工具。方差分析是在20世纪20年代初由英国统计学家费歇尔（R.A.Fisher）所创，最早用于生物学和农业实验，后在工业生产和科学研究中的许多领域广泛应用，取得良好的效果。

一、方差分析的必要性

在第1章中，我们已经讨论了两个正态总体均值相等的假设检验问题。但在实际生产中，经常遇到检验多个正态总体均值是否相等的问题。

以淀粉为原料生产葡萄糖的过程中，残留有许多糖蜜，可作为生产酱色的原料。在生产酱色之前应尽可能彻底除杂，以保证酱色质量。为此，对除杂方法进行选择。在试验中选用五种不同的除杂方法，每种方法做四次试验，即重复四次，结果见表2-1。

表2-1不同除杂方法的除杂量(g/kg)

除杂方法(Ai)

除杂量(xij)

平均()

A1

25.6

22.2

28.0

29.8

26.4

A2

24.4

30.0

29.0

27.5

27.7

A3

25.0

27.7

23.0

32.2

27.0

A4

28.8

28.0

31.5

25.9

28.6

A5

20.6

21.2

22.0

21.2

21.3

本试验的目的是判断不同的除杂方法对除杂量是否有显著影响，以便确定最佳除杂方法。我们可以认为，同一除杂方法重复试验得到的4个数据的差异是由随机误差造成的，而随机误差常常是服从正态分布的，这时除杂量应该有一个理论上的均值。而对不同的除杂方法，除杂量应该有不同的均值。这种均值之间的差异是由于除杂方法的不同造成的。于是我们可以认为，五种除杂方法所得数据是来自五个均值不同的五个正态总体，且由于试验中其它条件相对稳定，因而可以认为每个总体的方差是相等的，即五个总体具有方差齐性。这样，判断除杂方法对除杂效果是否有显著影响的问题，就转化为检验五个具有相同方差的正态总体均值是否相同的问题了，即检验假设

H0:μ1=μ2=μ3=μ4=μ5

对于这种多个总体样本均值的假设检验，第1章介绍的方法不再适用，须采用方差分析方法。

二、方差分析的基本思想

方差分析的实质就是检验多个正态总体均值是否相等。那么，如何检验呢？

从表2-1可见，20个试验数据（除杂量）是参差不齐的。数据波动的可能原因来自两个方面：一是由于因素的水平（即除杂方法）不同造成的，事实上，5种除杂方法下的数据平均值之间确实有差异；二是偶然失误造成的。从表中数据可见，每一种除杂方法下的4个数据虽然是相同条件下的试验结果，但仍然存在差异。这是由于试验中存在的偶然因素（如环境、原材料成分、测试技术等的微小而又随机的变化）引起的。我们把由因素的水平变化引起的试验数据波动称为条件误差；把由随机因素引起的试验数据波动称为随机误差或试验误差。

方差分析的中心要点是：把实验数据的总波动分解为两部分，一部分反映由条件误差变化引起的波动；另一部分反映由实验误差引起的波动。即把数据的总偏差平方和分解为反映必然性的各个因素的偏差平方和（SA、SB…）与反映偶然性的误差偏差平方和（Se），并计算它们的平均偏差平方和，再将二者进行比较，借助F检验法，检验假设H0：……，从而确定因素对试验结果的影响是否显著。换言之，找出对试验数据起决定性影响的因素（即显著性或高度显著性因素）作为进行定量分析判断的依据。

2.2单因素实验的方差分析

一、问题的提出

在进行一项实验中，如果只有一个因素在改变，而其他因素保持固定不变，就被称为单因素实验。因素变化所划分的等级（或条件）叫做水平（level），对每个水平都要进行若干次重复实验，通常当作一个样本来看待，称为一个“处理”（treatment）.

为了便于讨论，我们先给出单因素方差分析的一般提法：

设实验所考察的因素A有m个水平：A1，A2，…，，…，Am，在每个水平上重复进行r次实验，每次实验的可能结果都是一个随机变量。同一条件下的r次重复实验的可能结果是同一总体的一个样本。设水平的第j次实验值为xij（i＝1,2,…,m；j＝1,2,…,r），可得实验数据及计算表的模式如下：

表2-2单因素试验数据及计算表(水平重复数相等)

水平

重复试验序号

xi.

12…j…r

A1

A2

…

Ai

…

Am

……

……

………………

……

………………

……

x1.

x2