2024—2025学年上海市高桥中学高三上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市高桥中学高三上学期期中考试数学试卷

一、填空题

(★)1.若集合，则______.

(★)2.若复数，则其共轭复数的虚部为______.

(★★)3.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，若角的终边经过点，则______.

(★★)4.不等式的解集为________．

(★★)5.的展开式中，常数项为______．

(★★)6.双曲线的两条渐近线夹角为________．

(★★)7.若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为______.

(★★)8.已知向量，的夹角为，且，，则______.

(★★)9.某电子设备有两套相互独立的供电系统和，在时间内系统和系统发生故障的概率分别为0.2和.若在时间内至少有一个系统不发生故障的概率为0.94，则___________.

(★★★)10.顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为____．（精确到）

(★★★)11.对于正整数,记表示的最大奇数因数，例如.设.当时，__________．

(★★★)12.已知函数，，若有且仅有一个正整数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是___________.

二、单选题

(★★)13.用反证法证明“方程至多有两个解”的假设中，正确的是

A．至少有两个解

B．有且只有两个解

C．至少有三个解

D．至多有一个解

(★★)14.以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（）

A．90

B．89

C．88

D．88.5

(★★★)15.已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★★)16.已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）

A．存在，使得是偶函数

B．存在，使得在上单调递减

C．存在，使得在处取极大值

D．存在，使得的最小值是

三、解答题

(★★)17.如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2．

(1)求该圆锥的侧面积：

(2)设为该圆锥的底面半径，且为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值．

(★★★)18.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数；

(2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在的学生中抽取12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取2人作为组长，求至少有一名组长的竞赛成绩在内的概率.

(★★★)19.2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备．如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，．记，三条轨道的总长度为米．

(1)将表示成的函数，并写出的取值范围；

(2)当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长．

(★★★★★)20.已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线为的法向量为，求直线的方程；

(3)是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.

(★★★★)21.若函数的图象上有两个不同点，处的切线重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”.

(1)试判断函数与的图象是否存在“自公切线”（不需要说明理由）；

(2)若，求函数的图象的“自公切线”方程；

(3)若，