2024—2025学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期12月阶段测试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期12月阶段测试数学试卷

一、填空题

(★)1.两条异面直线所成角的范围是________．

(★★)2.直线过，且的一个法向量，则直线的方程为__________.

(★★)3.直线与直线的夹角大小为__________.

(★★)4.若直线与互相垂直，则__________.

(★★)5.在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有__________条

(★★★)6.在中，，，，是重心，过的平面与BC平行，，，则_________．

(★★)7.过点且和原点距离是2的直线方程是__________.

(★★)8.若空间中四条直线满足，，，则下列结论一定正确的是__________.

①、②、③、④、⑤、⑥

(★★★)9.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.

(★★★★)10.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________．

(★★★)11.如图所示，三个半径为的汤圆（球形）装入半径为的半球面碗中三个汤圆的顶端恰与碗口共面，则汤圆半径__________.

(★★★★)12.在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为__．

二、单选题

(★★)13.已知，，且，则为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)14.已知为直线上的一点，则的最小值为（）

A．

B．

C．4

D．3

(★★★★)15.正四面体的体积为为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★★)16.如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（）

A．

B．向量在向量上的投影向量为

C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为

D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个

三、解答题

(★★★)17.如图，AB是圆柱底面圆的一条直径，，PA是圆柱的母线，，点C是圆柱底面圆周上的点，．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)若点E在PA上且，求BE与平面PAC所成角的大小．

(★★★)18.直线经过点，在下列条件下，求直线的方程

(1)直线与直线的夹角为.

(2)经过直线的光线被直线反射，反射光线经过点.

(★★★)19.筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．

(1)求到平面的距离；

(2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

(★★★★)20.如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且.

(1)求证：平面；

(2)当，时，求平面与平面夹角的余弦值；

(3)在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置.

(★★★★★)21.现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线．

(1)求和的值；

(2)设的斜率为，判断的大小关系；

(3)证明：当时，；