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《等式性质与不等式性质》知识探究

探究点1不等关系与不等式

1.在日常生活中,既有相等关系,又存在着不等关系,不等关系常用不等式表示

2.用不等式表示不等关系时要注意：

(1)要先读懂题,设出未知量.(2)抓关键词,找到不等关系.

(3)用不等式表示不等关系,要特别注意不等关系中等号是否成立.

学科素养:用不等式表示不等关系,提升数学抽象核心素养.

典例1.[概括理解能力]用不等式(组)表示下列不等关系:

(1)限速的路标.

(2)桥头上限重10吨的标志.

(3)某社会团体成员要求,男性成员人数应不多于50,女性成员人数不少于10.

点拨：用不等式表示不等关系可解决本题,先把实际问题抽象成数学问题,再写成不等式即可解答.没有给出的量先设未知数.

解析:

(1)设汽车行驶的速度为,则.

(2)设汽车的总质量为吨,则.

(3)

探究点2实数的大小比较

对于任意两个实数,如果是正数,那么;如果是负数,那么;如果等于0,那么.它们的逆命题也成立,即有.

上面等价符号左边的式子反映的是实数的运算性质,

右边的式子反映的是实数的大小顺序,合起来体现了实数的运算性质与大小顺序之间的关系,利用这一关系可以比较两个实数与的大小.事实上,只需判断它们的差的符号.

【要点辨析】

1.确定任意两个实数的大小关系,只需确定它们的差与0的大小关系.

2.在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.

学科素养:用作差法进行实数大小比较,提升逻辑推理核心素养.

典例2.[推测解释能力、分析计算能力](1)(2019-河北武邑中学月考)已知,则()

A.

B.

C.

D.不能确定

(2)(2019-四川成都石室中学月考)已知,则

()

A.

B.

C.

D.不能确定

点拨:根据实数大小的比较依据进行分析计算,就能比较本题中的大小.(1)的二次项相同,所以运用作差法比较大小;(2)表示无理式,所以运用平方比较法比较大小.

解析:

(1),故.

(2)易知.

答案：(1)B(2)A

探究点3不等式的基本性质

学科素养:用不等式的性质,求解取值范围,体现数学运算、逻辑推理学科素养

典例3[简单问题解决能力](2018-江西抚州检测)若满足,则的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

点拨:根据不等式的性质分析计算,就能解决本题设置的情境问题.求的取值范围,先找出关于和的同向不等式是求解本题的关键.

解析:

从题中-可分离出三个不等式:(1),(2),(3).根据不等式的性质,(2)式同乘得(4),根据同向不等式的可加性,可得.由(3)式得,所以.

答案：B