特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型解读与提分精练（原卷版）.docx

专题01特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 5

模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 9

模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 13

21

模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）

条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：

A

A

m

B

Bm

模型（1）点A、B在直线m两侧：

模型（2）点A、B在直线同侧：

A

P

B

m

A

BP

B

P

A

m

图（1）

图（2）

模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。

模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据对称得到：PA=PA’，故AP+BP=A’P+BP，

再利用“两点之间线段最短”，得到AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。

例1．（2024·四川广安·中考真题）如图，在□ABCD中，AB=4，AD=5，上ABC=30°,点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为.

变式1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P满足

S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为()

A．29B．34C．52D．41

变式2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形ABCD的周长为8，上DAC=30°,E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是.

变式3．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(2,0)在OA上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为()

A．210

B.

10

10

C．4

D．6

变式4．（23-24九年级下·内蒙古·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为.

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）

条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。

模型（1）：点A、B在直线m同侧：

A

B

m

模型（2）：点A、B在直线m异侧：

A

m

B

A

P

P

P

B

B

mPP

图（1）

A

mB

m

B

B

图（2）

模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。

模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，

当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。

例1．（2024·陕西西