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OpenGL学习脚印：理解坐标系及坐标变换（上）

OpenGL学习脚印:理解坐标系及坐标变换(上)

写在前面

本文为学习计算机图形学及利用OpenGL开发图形程序做数学准

备工作。有关3Dmath的学习不是一蹴而就的，因此这里整理总结的

是图形学中的基本数学问题。参考资料列在文章末尾。如有错误请纠

正我。

鉴于OpenGL中使用列向量表达向量，因此本节统一使用列向量

表达向量，必要时使用转置表达行向量。

1.三大空间

在计算机图形学中，需要表示和处理像点和线段这样的几何元素，

为此要用到的数学知识可以在各种类型的抽象空间的研究中找到。

这里我们认识3类这样的空间:向量空间vectorspace(线性空间

linearspace)、仿射空间affinespace、欧几里得空间Euclidspace。

1.1向量空间

向量空间包含两类对象：标量(scalar)和向量(vector)。

标量是只有大小而没有方向的量。例如实数就是标量的例子。标

量是对我们平时所用数字的技术称谓。使用该术语时是想强调数量值。

在两个标量之间定义了两种基本运算，即加法和乘法，这两种运

算满足交换律、结合律和分配律。这就是我们熟悉的加减法中使用的

规律:

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1.加法交换律：a+b=b+a

2.

3.乘法交换律：a*b=b*a

4.

5.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

6.乘法结合律：a*b*c=a*(b*c)=(a*b)*c

7.

8.分配律：(a+b)*c=a*c+b*c

同时通过加法和乘法的逆元(加法逆元就是相反数，乘法逆元就是

倒数)，隐含地定义了减法和除法。

为了能够处理方向，我们需要另一种类型，即向量。物理学家和

数学家使用向量这个术语来表示任何既有方向又有大小的量。

关于向量，定义了两种运算：向量-向量加法和标量-向量乘法。

向量-向量加法是封闭的，即任意u,v∈V,则u+v∈V。向量加法

满足交换律和结合律。

标量-向量乘法是这样定义的，对于任意的标量a和任意的向量u,

则au是V中的一个向量。

标量-向量乘法满足分配律：

a(u+v)=au+av

(α+β)u=au+βu

关于向量的介绍先到这里，后面在必要时会再展开。

如果想获取向量与坐标全面的在线教案，可参考:六盘水师范学院

《解析几何》教案。

1.2仿射空间

仿射空间是向量空间的拓展，除了标量和向量，还包括另外一种

对象：点。

在向量空间中，没有像位置和距离这样的几何概念。如果把由有

向线段构成的向量空间作为考虑几何问题的自然向量空间，就会遇到

困难，因为这些向量就像物理中的向量那样，具有大小和方向，但是

没有位置。我们可以通过引入坐标系来考虑问题。坐标系如下图所示:

但是在向量空间中没有办法表示原点O，因为向量空间中只有标

量和向量。因此就引入了仿射空间。

仿射空间比向量空间多一类实体:点。

设P,Q,R为仿射空间中的点。在仿射空间中定义了新的运算：点-

点减法，这个运算的结果就是一个向量。

对于任意两点P,Q,v=P-Q,其中v为V中的一个向量;反之对于任

意v和P，我们总可以找到一个Q使该关系成立，这样就定义了一种

点-向量加法:P=Q+v。点-向量加法可以看做把点Q移动到新位置P,

移动的长度和方向由向量v决定。如下图所示:

1.3欧几里得空间

虽然仿射空间里包含了几何模型的必要元素，但是在仿射空间中

不能度量两个点相距多远,或者说没有向量长度的概念。

欧几里得空间是向量空间的拓展，它增加了对大小或者距离的度

量，可以定义线段的长度等概念。严格地说，欧几里得空间只包含