练素养 证明圆的切线的七种常用方法.pptx

练素养证明圆的切线的七种常用方法集训课堂苏科版九年级上第二章对称图形——圆馨提示：点击进入讲评习题链接

1如图，⊙O的直径AB＝12，P是AB延长线上一点，且PB＝4，C是⊙O上一点，PC＝8.求证：PC是⊙O的切线．

证明：如图，连接OC.∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6.∵PB＝4，∴PO＝10.在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，∴PC2＋OC2＝PO2.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．

2如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．

解：PD与⊙O相切，理由如下：如图，连接PO，∵AP＝AP，∴∠AOP＝2∠ACP＝120°.∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.∵PA＝PD，∴∠OAP＝∠D＝30°.∴∠OPD＝180°－(∠OAP＋∠OPA)－∠D＝90°，即OP⊥PD.又∵OP是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切．⌒⌒

3【母题：教材P91复习题T6】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C.(1)求证：AC是⊙O的切线；

证明：如图，连接OA，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠OAB＝∠C.∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD.∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°.∴∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，即OA⊥AC.又∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．

(2)若AC＝4，求⊙O的半径．

【点方法】作辅助线判定圆的切线的常用方法：1.有切点，连半径，证垂直．如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可，简记为：有切点，连半径，证垂直．2.无切点，作垂直，证半径．如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径即可，简记为：无切点，作垂直，证半径．

4【2023·江苏科技大学附中模拟】如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D.求证：(1)BE＝CE；

证明：∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴∠EBC＋∠EAC＝180°.又∵∠EAM＋∠EAC＝180°，∴∠EAM＝∠EBC.∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM.∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM.∴∠BCE＝∠EBC.∴BE＝CE.

解：如图，连接EO并延长交BC于点H，连接OB，OC.∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC.∴EH⊥BC.∵EF∥BC，∴EH⊥EF.∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线．(2)EF为⊙O的切线．

5如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC＝60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D.

(1)求证：CD是⊙O的切线；证明：∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC.∵AC平分∠BAF，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠ACO.∴DA∥OC.∴∠OCD＝180°－∠ADC＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．

(2)求DF的长．解：如图，连接BF，交OC于点E.∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.∴∠BFD＝90°.又∵∠ADC＝∠DCO＝90°，∴四边形DCEF是矩形．∴∠OEB＝∠CEF＝90°，CE＝DF.

6【2023·镇江江南中学模拟】如图，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE.

证明：连接OD，OE，∵AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°.∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∴△ADO≌△EDO(SSS)．∴∠OED＝∠OAD＝90°，即OE⊥CD.又∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(1)求证：CD是⊙O的切线；

解：过点C作CH⊥AD于点H，∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°.∴四边形ABCH是矩形．∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4.∴DH＝AD－AH＝AD－4.∵CB，CD是⊙O的切线，∴CE＝BC＝4.(2)若AB＝12，BC＝4，求AD的长．

又∵AD＝DE，∴CD＝AD＋4.∵CH2＋DH2＝CD2，∴122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2.∴AD＝9.

7如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠A