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高等数学期末试题(含答案)

高等数学检测试题

一。选择题（每题4分，共20分）

1.计算计算，答案为（B）2.

2.已知$2x^2y=2$，求

，答案为（D）

不存在。

3.计算计算，答案为（D））

x|)+C$。

4.设$f(x)$的导数在$x=a$处连续，且处连续，且

a}

rac{f(x)}{x-a}=2$，则$x=a$是$f(x)$的（A）极小值点。

5.已知$F(x)$的一阶导数$F(x)$在在上连续，

且$F(0)=0$，则，则的值为（D）$-

F(x)-xF(x)$。

二。填空：（每题4分，共20分）

解：首先有解：首先有解：首先有

，所以$F(x)=f(x)$。

2.求不定积分求不定积分。

解：首先将$

rac{x^5+1}{x^2(x^2+1)^2}$拆分为

$

rac{1}{x^2}-

rac{2x}{(x^2+1)^2}+

rac{x^2}{(x^2+1)^2}$，

然后分别对三个部分求积分，得到然后分别对三个部分求积分，得到

rac{1}{x}+C_1$，，

2x}{(x^2+1)^2}dx=

rac{1}{x^2+1}+C_2$，，，，

，因此原式为$-$-

。

3.求极限

t}dt$。

解：由夹逼定理，解：由夹逼定理，解：由夹逼定理，

，因此

t}dt$。第一个积分的极限为。第一个积分的极限为，第二个积分的绝

对值不超过

3/4}}du$，因此由比较判别法可知其极限为$0$。故原极限的

值为值为。

4.求曲线求曲线在$x=1$处的切线方程。

解：由导数的定义，解：由导数的定义，解：由导数的定义，

，因此曲线，因此曲线

x$在$x=1$处的斜率为$1$。又因为曲线过点$(1,0)$，所以

切线方程为$y=x-1$。

32x→x→22-4xx4，求表面积为a而体积为最大的长方体

的体积。

解：设长方体的三棱的长为x、y、z，则问题就是在条件

2(xy+yz+xz)=a2下求函数V=xyz的最大值。

构成辅助函数F(x,y,z)=xyz+λ(2xy+2yz+2xz-a2)，解方程组

F

x

x,y,z)=yz+2λ(y+z)=0

F

y

x,y,z)=xz+2λ(x+z)=0

F(x,y,z)=xy+2λ(y+x)=0

2xy+2yz+2xz=a2，x=y=z=√(a/6)，得这是唯一可能的极值

点。因为由问题本身可知最大值一定存在，V=√(a3/36)。所以

最大值就在这个可能的值点处取得。

求由曲线y=e^x，y=e^-x与直线x=1所围成的平面图形面

积及这个平面图形绕x轴旋转所成旋转体体积。（10分）

解：曲线y=e^x与y=e^-x的交点为(0,1)，曲线y=e^x与

y=e^-x和直线x=1的交点分别为(1,e)和(1,e^-1)，所围平面图

形如图阴影部分，取x为