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高数同济五版（3）
习题12-6
1.求下列各微分方程的通解:
(1)y=x+sinx;
解12cos2
1)sin(Cxxdxxxy+-=
+=?,21312sin61)cos21(CxCxxdxCxxy++-=+-=?,原方
程的通解为
213sin61CxCxxy++-=.
(2)y=xex;
解12Cexedxxeyxxx+-==?
,21122)2(CxCexedxCexeyxxxx++-=+-=?
,3221213)22(CxCxCexedxCxCexeyxxxx+++-=++-
=?
,原方程的通解为
32213CxCxCexeyxx+++-=.
(3)2
11xy+=
;解12arctan11Cxdxxy+=+=?xCdxxx
xxdxCxy1211arctan)(arctan++-=+=??212)1ln(21arctan
CxCxxx+++-=,
原方程的通解为
2121lnarctanCxCxxxy+++-=.
(4)y=1+y2;
解令p=y,则原方程化为
p=1+p2,即dxdpp=+2
11,两边积分得
arctanp=x+C1,即y=p=tan(x+C1),
211|)cos(|ln)tan(CCxdxCxy++-=+=?,
原方程的通解为
21|)cos(|lnCCxy++-=.
(5)y=y+x;
解令p=y,则原方程化为
p-p=x,
由一阶线性非齐次方程的通解公式得
1)()(111--=+=+=?
--xeCCdxxeeCdxexepxxxdxdx,即y=C1ex-x-1,
于是22112
1
)1(CxxeCdxxeCyxx+--=--=?,原方程的通解为
2212
1CxxeCyx+--=.
(6)xy+y=0;
解令p=y,则原方程化为xp+p=0,即01=+px
p,由一阶线性齐次方程的通解公式得
x
CeCeCpxdxx1ln111==?=--,即x
Cy1=
,于是211lnCxCdxxCy+==?,原方程的通解为
y=C1lnx+C2.
(7)yy+=y2;
解令p=y,则dydppdxdydydpy=?=
,原方程化为21pdydpyp=+,即dyydppp11
2=-,两边积分得
||ln||ln|1|ln2
112Cyp+=-,即22121yCp±-.当|y|=|p|1时,方程变为
2211y
Cy+±=,即dxdyyC±=+21)(11,两边积分得
arcsh(C1y)=±C1x+C2,
即原方程的通解为
)(sh1121
xCCCy±=.当|y|=|p|1时,方程变为
2211yCy-±=,即dxdyyC±=-21)
(11,两边积分得
arcsin(C1y)=±C1x+C2,
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