北师大版九年级数学上名校课堂小专题(二)(含答案).pdfVIP

小专题(二)特殊平行四边形的性质与判定

【例】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落

在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．

【思路点拨】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是

平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用勾股定理

可求出AE、BE，进而求出AE、DE，即可求出菱形BFDE的面积．

【方法归纳】证明平行四边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然

后根据条件选择合适的判定方法加以证明．

1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，

过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE.求四边形AEBD的

面积．

2．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.

(1)求证：四边形BEDF是菱形；

(2)若∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC

于点E，F，垂足为点O.

(1)连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；

(2)求菱形AFCE的边长．

4．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：

(1)四边形CFEG是矩形；

(2)AE＝FG.

5．(牡丹江中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB

边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.

(1)求证：CE＝AD；

(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明

你的理由．

参考答案

【例】．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.

由翻折得BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，

∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°.

∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.

∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN.

∴△EDM≌△FBN(ASA)．

∴ED＝BF.

又∵DE∥BF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

（2）∵四边形BFDE是菱形，

∴∠EBD＝∠FBD.

∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，

1

∴∠ABE＝×90°＝30°.

3

1

∴AE＝BE.

2

由勾股定理得AB＝3AE.

在Rt△ABE中，AB＝2，

24

∴AE＝3，BE＝3.

33

4

∴ED＝3.

3

∴AD＝23.

12

∴S＝AB·AE＝3，S＝AB·AD＝43.

△ABE23矩形ABCD

28

∴S＝43－2×3＝3.

菱形BFDE33

针对训练

1.∵AE∥BC，DE∥AC，

∴四边形AEDC是平行四边形．∴AE＝CD.

在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，

∴∠ADB＝90°，BD＝CD.

∴BD＝AE.

∴四