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数学初中竞赛大题训练：几何专题
1．阅读理解：
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证
明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两
点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：
ADBACBABCDADCABCAB
如图1，若∠＝∠，则，，，四点共圆；或若∠+∠＝180°，则，，
CD
，四点共圆．
ADBACBBADACD
（1）如图1，已知∠＝∠＝60°，∠＝65°，则∠＝55°；
DABCBCDEADBEABADAE
（2）如图2，若为等腰Rt△的边上一点，且⊥，⊥，＝2，求
的长；
ABCDEFGEFG
（3）如图3，正方形的边长为4，等边△内接于此正方形，且，，分别在
ABADBCAEEF
边，，上，若＝3，求的长．
ADBACB
解：（1）∵∠＝∠＝60°，
ABCD
∴，，，四点共圆，
ACDABDADBBAD
∴∠＝∠＝180°﹣∠﹣∠＝180°﹣60°﹣65°＝55°，
故答案为：55°；
CAFCFCD
（2）在线段取一点，使得＝，如图2所示：
CCFCDACCB
∵∠＝90°，＝，＝，
AFDBCFDCDF
∴＝，∠＝∠＝45°，
AFD
∴∠＝135°，
BEABABC
∵⊥，∠＝45°，
ABEDBE
∴∠＝90°，∠＝135°，
AFDDBE
∴∠＝∠，
ADDE
∵⊥，
ADE
∴∠＝90°，
FADADCADCBDE
∵∠+∠＝90°，∠+∠＝90°，
FADBDE
∴∠＝∠，
ADFDEB
在△和△中，，
ADFDEBASA
∴△≌△（），
ADDE
∴＝，
ADE
∵∠＝90°，
ADE
∴△是等腰直角三角形，
AEAD
∴＝＝2；
EKFGKKFGAKBK
（3）作⊥于，则是的中点，连接，，如图3所示：
EKGEBGEKFEAF
∴∠
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