专题24.7切线的判定-【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】.pdf

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】

专题24.7切线的判定

【名师点睛】

切线的判定

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）在应用判定定理时注意：

①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切

线．

②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直

接得出来的．

③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过

圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证

半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径

垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．

【典例剖析】

【例1】．（2021秋•闽侯县期中）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C的直线互相垂直，

垂足为D，AC平分∠DAB．求证：直线CD是⊙O的切线．

【分析】连接OC，根据半径相等，可得∠OAC＝∠OCA，由AC平分∠DAB，可推出∠OCA＝∠

CAD．进而得出OC∥AD．再由AD⊥DC，得出OC⊥DC．运用切线的判定可证得结论．

【解答】证明：连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC平分∠DAB，

∴∠OAC＝∠CAD．

∴∠OCA＝∠CAD．

∴OC∥AD．

∵AD⊥DC，

∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝90°．

∴OC⊥DC．

∵OC为半径，

∴直线CD是⊙O的切线．

【变式1】．（2021秋•溧水区期中）如图，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直径为10cm．求证：AB是

⊙O的切线．

【分析】过O作OC⊥AB，垂足为C，根据勾股定理可得OC＝5＝⊙O的半径，进而根据经过半径

的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，即可证明AB是⊙O的切线．

【解答】证明：过O作OC⊥AB，垂足为C，

∵OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，

∴AC＝AB＝12cm，

在Rt△OAC中，根据勾股定理，得

OC＝＝5，

∵⊙O的直径为10cm

∴⊙O的半径r为5cm，

∴OC＝r，

∴AB是⊙O的切线．

【例2】．（2021秋•盱眙县期中）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．

【分析】（1）连接OD，只要证得∠EDO＝90°即可得到DE是⊙O的切线；

（2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD．

∵OA＝OB，

∴OD∥AC．

又∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵D是BC的中点，

∴BD＝CD＝BC＝4（cm），

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

∴AC＝AB，

∵AD＝3cm，

∴AC＝＝＝5（cm），

∵DE⊥AC，

∴DE＝＝＝（cm），

∴AE＝＝＝（cm）．

【变式2】．（2021•怀宁县模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，D为⊙O上一

点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于E．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；

（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．

【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；