高中数学第9章解三角形9.1.1正弦定理教案第四册.pdfVIP

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解三角形

9。1正弦定理与余弦定理

9。1.1正弦定理

学习目标核心素养

1.掌握正弦定理的内容及其证明方

法．(重点）1。借助正弦定理的推

2．理解正弦定理及其变形的结构形式，导，提升数学抽象、逻

并能用正弦定理解决三角形度量和边辑推理的素养．

角转化问题，会判三角形的形状．（难2．通过正弦定理的应

点)用的学习，培养数学运

3．能根据正弦定理确定三角形解的个算、直观想象的素养。

数．(难点、易错点)

关于正弦定理的发现历史,一般认为是中世纪阿拉伯数学家、

天文学家阿布瓦法(940～998）提出并证明了球面三角形的正弦

定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁-图西

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（1201~1274)给出的．我国清代数学家梅文鼎（1633～1721)在

他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦

定理的完整形式．

思考：三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关

系？

1．三角形的面积公式

(1)S＝ah·＝bh·＝ch·(h，h,h分别表示a，b，c

错误!a错误!b错误!cabc

边上的高)．

（2)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB.

错误!错误!错误!

(3）S＝（a＋b＋c)·r（r为内切圆半径）．

错误!

2．正弦定理

3．解三角形

(1）一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形

的元素．

（2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．

思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？

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［提示]需要两角和一边或两边和其中一边的对角．

[拓展］

1．正弦定理的常用变形式

在△ABC中,若内角A,B，C所对的边长分别为a，b，c，其外

接圆半径为R。则

(1）asinB＝bsinA,bsinC＝csinB，asinC＝csinA；

(2)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；

(3）＝＝＝＝2R;(证明见类型4［探究问题］）

错误!错误!错误!错误!

(4)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC;（可以实现边到角的

转化)

（5）sinA＝,sinB＝，sinC＝.(可以实现角到边的转

错误!错误!错误!

化）

2．三角形中边角的不等关系

(1)若A＞B＞C，可得a＞b＞c,则sinA＞sinB＞sinC；

（2)若sinA＞sinB＞sinC，可得a＞b＞c，则A＞B＞C。

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打，错误的打