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高中数学新课程创新教学设计案例篇等差数列的前项和

46等差数列的前n项和

教材分析

等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列讨论的基本问

题．在现实生活中，等差数列的求和是常常碰到的一类问题．等差数

列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要办法．

教材首先通过详细的事例，探究归纳出等差数列前ｎ项和的求法，

接着推广到普通状况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深入对公

式的理解，通过对详细例子的讨论，弄清等差数列的前ｎ项和与等差

数列的项、项数、公差之间的关系，并能娴熟地运用等差数列的前ｎ

项和公式解决问题．这节内容重点是探究把握等差数列的前ｎ项和公

式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路

的形成．

教学目标

1.通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让同学体验数学公式产

生、形成的过程，培养同学抽象概括能力．

2.理解和把握等差数列的前ｎ项和公式，体味等差数列的前ｎ

项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养同

学对数学的理解能力和规律推理能力．

3.在讨论公式的形成过程中，培养同学的探索能力、创新能力

和科学的思维办法．

任务分析

这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．

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千里之行，始于足下

对公式的推导，为便于同学理解，实行从特别到普通的讨论办法

比较相宜，如从历史上出名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯

算法动身，一方面引发同学对等差数列求和问题的爱好，另一方面引

导同学发觉等差数列中随意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与

末项的和这个逻辑，进而发觉求等差数列前ｎ项和的普通办法，这样

自然地过渡到普通等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要

引导同学熟悉公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、

项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例

的教学，并通过对详细实例的分析，引导同学学会解决问题的办法．特

殊是对实际问题，要引导同学从实际情境中发觉等差数列的模型，恰

当挑选公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可

引导同学拓展延长．

教学设计

一、问题情景

1.在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在教师提出问

题：“＋12＋3＋…＋100＝”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出

来的呢他发觉1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2

＋…＋100＝101×50＝5050．

2.受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．

3.高斯的办法妙在哪里呢这种办法能否推广到求普通等差数列

的前ｎ项和

二、建立模型

1.数列的前ｎ项和定义

对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的

前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．2.等差数列的

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求和公式

（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式

对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：

Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）

ｄ］，①

依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2

ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．①由此得到等差数列的前ｎ项和

公式

小结：这种办法称为反序相加法，是数列求和的一种常用办法．

（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式

（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什

么性质

同学研究后，老师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ

1和项数ｎ；不同点是前者还必要知道ａn，后者还必要知道ｄ．因

此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等

差数列的性质：前者反映

了等差数列的随意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项

之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次

函数”．

三、解释应用

［例题］