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专题13与中点有关的计算与证明（原卷版）

类型一构造直角三角形斜边的中线

典例1如图，△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求证：CE=AB．

2

典例2（2020秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，

BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为．

针对训练

1．（2021秋•上蔡县校级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、

AC的中点，

（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；

（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．

类型二捕捉三角形的中位线

典例3（2021•瑶海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF

∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（）

A．2B．4C．3D．2.5

针对训练

1．（2021春•介休市期末）如图，AD和BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，垂足为点F，且

G、E为AC的三等分点，若BE＝8，则BF的长为．

类型三构造三角形的中位线

典例4（2022春•吴中区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△

ABC，点P、Q分别是AB、AC的中点，PQ的取值范围．

11111

典例5（2021秋•北海月考）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点，将△BCE

沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的

中点N，连接MN，则MN＝（）cm．

24

A．5B．6C．D．27

5

针对训练

1

1．（2021春•荔湾区期中）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD=BC，过AC中点E作EF∥CD

2

（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF，若AB＝6，则DF的长为．

2．（2021•安徽二模）如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一

点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（）

355

A．1B．C．D．

223

3．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P、M、N分

别为AC，AD、CE的中点．

（1）求证：PM＝PN；

（2）求∠MPN的度数．