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空间直线及点、直线、平面间的位置关系判定

1．空间直线的方向向量

给定一条直线，称平行于这条直线的非零向量s为该直线的方向向

量．显然，与s平行的所有非零向量均可作为此直线的方向向量．直线

上的所有向量都与该直线的方向向量平行．

2．直线的向量式参数方程

设直线L过点M(x,y,z)，方向向量为s=(m,n,p)，其中m,n,p

0000

是不全为零的常数．在直线L上任取一点M(x,y,z)，并记

则直线L参数为t的向量式参数方程为

3．空间直线的坐标式参数方程

过点M(x,y,z)，方向向量为s=(m,n,p)的直线的坐标式参数方

0000

程为

4．空间直线的标准式方程

过点M(x,y,z)，方向向量为s=(m,n,p)的直线的标准式方程，

0000

或者对称式方程，点向式方程为

5．空间直线的两点式方程

已知空间直线L上的相异的两点A(x,y,z)，B(x,y,z)，则两点

111222

的连线构成的直线的两点式方程为

6．空间直线的一般式方程

设两平面方程分别为：

则两平面的交线的一般式方程为

7．直线方程描述形式的转换

两个平面描述的直线的方向向量可取为两平面的法向量

n=(A,B,C),n=(A,B,C)的向量积，即

11112222

因此，取(x,y,z)满足方程组，则由此向量可以将直线的一般式

000

方程转换为以上方程的描述形式。

同样，由直线L的标准式方程、参数式方程、两点式方程也容易

得到直线L的一般式方程。

如由直线L的标准式方程

可以将直线描述为

它对应通过直线L的两个特定的平面。

如果方向向量的某一分量为零，如s=(m,n,0)，则过点(x,y,z)的

000

直线L的坐标式参数方程为

直线的一般式方程为

对于这样方向向量有坐标分量为0的直线，一般也记它的标准式

方程为

8．两直线的位置关系

设两直线的标准式方程分别为：

并设M(x,y,z)是直线L上的点，s=(m,n,p)是它的一个方向

111111111

向量；M(x,y,z)是直线L上的点，s=(m,n,p)是它的一个方向向

222222222

量，则有：

【注】：两条平行直线可以位于不同的平面上，但由于它们可以

位于一个平面上，所以它们也表示共面直线。

(5)不管是共面的直线还是异面的直线，规定两直线的夹角θ为两

直线的方向向量间的夹角，即有

【注】：若两直线平行或重合，则它们的夹角可看成是0或π；如

果两直线垂直，则它们的夹角为π/2.

9．点到直线的距离

设点M(x,y,z)是直线

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上的一点，s=(m,n,p)是直线的方向向量，则点M(x,y,z)到直