2024年高中数学基本不等式知识点归纳及练习题.doc

高中数學基本不等式的巧用

1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.

(2)等号成立的条件：當且仅當a＝b時取等号．

2．几种重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)；(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；

(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

3．算术平均数与几何平均数

设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数為eq\f(a＋b,2)，几何平均数為eq\r(ab)，基本不等式可论述為两個正数的算术平均数不小于或等于它的几何平均数．

4．运用基本不等式求最值問題

已知x＞0，y＞0，则

(1)假如积xy是定值p，那么當且仅當x＝y時，x＋y有最小值是2eq\r(p).(简记：积定和最小)

(2)假如和x＋y是定值p，那么當且仅當x＝y時，xy有最大值是eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)

一种技巧

运用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤eq\f(a2＋b2,2)；eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b＞0)逆用就是ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b＞0)等．還要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

两個变形

(1)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab(a，b∈R，當且仅當a＝b時取等号)；

(2)eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a＞0，b＞0，當且仅當a＝b時取等号)．

這两個不等式链用处很大，注意掌握它們．

三個注意

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要运用基本不等式求最值，這三個条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式時，要尤其注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

(3)持续使用公式時取等号的条件很严格，规定同步满足任何一次的字母取值存在且一致．

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x2＋eq\f(1,2x2)（2）y＝x＋eq\f(1,x)

解題技巧：

技巧一：凑项

例1：已知，求函数的最大值。

技巧二：凑系数

例1.當時，求的最大值。

技巧三：分离

例3.求的值域。

。

技巧四：换元

技巧五：注意：在应用最值定理求最值時，若遇等号取不到的状况，应結合函数的單调性。例：求函数的值域。

练习．求下列函数的最小值，并求获得最小值時，x的值.

（1）（2）(3)

2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.

条件求最值

1.若实数满足，则的最小值是.

变式：若，求的最小值.并求x,y的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值時，要注意取等号的条件的一致性，否则就會出錯。。

2：已知，且，求的最小值。

变式：（1）若且，求的最小值

(2)已知且，求的最小值

技巧七、已知x，y為正实数，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值.

技巧八：已知a，b為正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝eq\f(1,ab)的最小值.

技巧九、取平方

5、已知x，y為正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝eq\r(3x)＋eq\r(2y)的最值.

应用二：运用基本不等式证明不等式

1．已知為两两不相等的实数，求证：

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例6：已知a、b、c，且。求证：

应用三：基本不等式与恒成立問題

例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例：若，则的大小关系是.

解：（1）y＝3x2＋eq\f(1,2x2)≥2eq\r(3x2·eq\f(1,2x2))＝eq\r(6)∴值域為[eq\r(6)，+∞）

（2）當x＞0時，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·eq\f(1,x))＝2；

當x＜0時，y＝x＋eq\f(1,x)=－（－x－eq\