双曲线与直线：几何存在性【题集B】(教师版)--初中数学四维三难【人教版】.pdf

双曲线与直线：几何存在性【题集B】

1.如图，四边形为矩形，以点为原点建立平面直角坐标系，点在轴的正半轴上，点在

轴的正半轴上，已知点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交

于点．

（1）求的值和点的坐标．

（2）求直线的解析式．

（3）点为轴上一点，点为反比例函数的图象上一点，是否存在点、，使得以、

、、为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说

明理由．

【答案】（1），的坐标为．

（2）．

（3）

存在，或．

【解析】（1）∵四边形为矩形，点的坐标为，

∴，，

∵是的中点，

∴，

∵反比例函数的图象经过的中点，

∴，，

∴反比例函数的解析式为，

令，则，

∴的坐标为．

（2）设直线的解析式为，

∵，，

1

∴，解得，

∴直线的解析式为．

（3）存在．

∵，，以、、、为顶点的四边形为平行四边形．

当是平行四边形的边时，则，且，

∵的纵坐标为，

∴的纵坐标为，

令，则，解得，

令，则，解得，

∵，

∴点的坐标为；

当是平行四边形的对角线时，

∵，，

∴的中点为，

设、，

∴，，

∴，，

∴，

故使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形的点的坐标为或

．

【标注】【知识点】反比例函数与四边形综合

2.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，过点作垂直轴

于点，连接．若的面积为．

2

（1）求的值．

（2）轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请

说明理由．

【答案】（1）．

（2）轴上存在一点，使为直角三角形，

点的坐标为、、、．

【解析】（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点，

∴、两点关于原点对称，