2024—2025学年上海市宝山中学高三上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市宝山中学高三上学期期中考试数学试卷

一、填空题

(★)1.函数的定义域是_____.

(★)2.已知圆的一般方程为，则圆的半径为______.

(★★)3.已知等差数列中，，则前7项和______.

(★)4.若复数满足（为虚数单位），则______.

(★★)5.已知向量，，则在方向上的投影向量为______.

(★★)6.若展开式中的系数为80，则实数a的值为______.

(★★)7.已知，方程一个虚根为，则______.

(★★)8.已知点为抛物线的焦点，定点，点为抛物线上一动点，则的周长最小值为______.

(★★)9.在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为__________.

(★★)10.已知是奇函数，时，则不等式的解集为______.

(★★★)11.复数满足，是复平面上以为圆心、1为半径的圆的任意一条直径，若是在复平面上对应的点，则的最小值为______.

(★★★★)12.设点P在直线上，点Q在曲线上，线段的中点为M，O为坐标原点，则的最小值为______.

二、单选题

(★★)13.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（）

A．若，，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

(★★)

14.

如图是总体密度曲线，下列说法正确的是()

A．组距越大，频率分布折线图越接近于它

B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它

C．阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比

D．阴影部分的平均高度代表总体在(a,b)内取值的百分比

(★★★)15.已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)16.以直角坐标系的轴为轴，轴绕原点O逆时针旋转作为轴，得到平面斜坐标系，点的斜坐标定义为：“若（其中、分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”.若直角坐标系中，，且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为（）

A．

B．

C．

D．

三、解答题

(★★★)17.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为2，底面半径为1.

(1)求该圆锥的侧面积；

(2)为底面直径，A为底面圆周上一点，且，求二面角的大小.

(★★)18.已知中，，，设，记；

(1)若，求的值；

(2)求函数的最大值，及相应的值.

(★★★)19.某高中为配合爱国主义教育，开展国防科技知识竞赛，预赛后，将成绩最好的甲、乙两个班学生（每班都是40人）成绩统计出来，甲班的分数频率直方图和乙班成绩分布频数表如下（分数区间相同），成绩大于等于分为优秀，记甲、乙两班学生得分的平均数分别为，，方差分别为，.

分数区间

人数

3

9

10

13

5

(1)随机从甲、乙两班各取1人，求两人中至少一人成绩优秀的概率；

(2)已知，，，，求这80名同学得分的平均分和方差.

(★★★★★)20.已知双曲线，直线l交双曲线于A、B两点.

(1)求双曲线C的焦点到渐近线的距离；

(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线、的斜率、均存在，求证：为定值；

(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标：若不存在，请说明理由.

(★★★★)21.已知，函数.

(1)求函数的极值；

(2)讨论的单调性（写出单调区间）；

(3)若恒成立，求的最大值，并证明：对于任意，都有