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中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解

目

录

第1讲角为定值的常规解法

第2讲角为定值的高级解法

第3讲边为定值的动点问题

第4讲线段的和或差为定值的动点问题

第5讲比值为定值的动点问题

第6讲乘积为定值的动点问题

第7讲面积为定值的动点问题

第8讲动点产生的几何最值问题

第1讲角为定值的常规解法

【几何法证明角为定值】

（1）三角形内角和定理

（2）三角形外角定理

（3）等腰三角形底角相等

（4）直角三角形两锐角互余

（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补

（6）平行四边形的对角相等、邻角互补

（7）等腰梯形底角相等

（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等

【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点O,∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、

ON上移动，AC是△BAO的角平分线，BD为∠ABN的角平分线，AC与BD的反向延长线交于

点P.试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化?若保持不变，请求出

∠APB的度数；若发生变化，求出变化范围。

、

【例】如图所示,O的直径AB=4,点P是AB延长线上的一点,过P点作O的切线,切点为C，连接

AC.

(1)若∠CPA=30°，求PC的长；

(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发

生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小。

【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求

解具体角为定值的问题。

【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t

秒(t0),抛物线y=ax2+bx+c经过点O和点P,已知矩形ABCD的三个顶点为

A(1,0),B(1,−5),D(4,0).

(1)求c,b(用含t的代数式表示):

(2)当4t5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N.

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变

化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；

(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的

点称为“好点”。若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，

请直接写出t的取值范围。

y=ax2

【例】如图，二次函数+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，

∠CBO的正切值是2．

（1）求此二次函数的解析式．

（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋

转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线

段AD的中点．

①直接写出点P所经过的路线长．

②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥

AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否

发生变化？若不变，求∠EPF的度数；若变化，请说明理由．

③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．

第2讲角为定值的高级解法

【全等找等角】

【构造特殊三角形】

【例】如图,在平面直角坐标系中,△AOP为等边三角形,A(0,1)

点B为y轴正半轴上一动点，以BP为边作如图所示等边△PBC.

(1)求证：OB=AC；

(2)∠CAP的度数是否会发生变化？

(3)当B点运动时，AE的长度是否发生变化?若不发生变化，请

求出AE的值，若发生变化，请说明理由。

【例】如图,△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,点M是BC边上任意一点,点D是AB的延长线上一

点,且BM=BD;又点E,F分别是CD,AM边上的中点,连接FE,EB.

（1）求证:△AMB≌△CDB;

（2）点M在BC边上移动时,试问∠BEF的度数是否会发生变化?若不变,请求