数学分析第5章.pptVIP

数学分析电子教案

重庆邮电大学数理学院

高等数学教学部

沈世云

第五章微分学的根本定理

及导数的应用

•中值定理

•泰勒公式

•函数的单调性、凸性与极值

•平面曲线的曲率

•待定型

•方程的近似解

第一节中值定理

一、费尔马(Fermat)定理

二、罗尔(Rolle)定理

三、拉格朗日(Lagrange)中值定理

四、柯西(Cauchy)中值定理

一、费尔马(Fermat)定理

若(i)f(x)在x0点的某领域O(x0,)内有定义，

且xO(x0,)恒有

f(x)f(x0)(或者f(x)f(x0));

在点可导，

(ii)f(x)x0

则有

f(x0)0.

注1.若则称为函数的驻点

f(x0)0,x0f(x).

注2.定理的几何意义：

Fermat若曲线yf(x)在x0取

局部极大（小）值，且在(x0,f(x0))点存在切线，

则该切线平行于x轴.

y

水平切线P

yf(x)

x

ox0

证明不妨设时

xU(x0,),f(x)f(x0).

于是，对于有

x0xU(x0,),

f(x0x)f(x0)0,

f(xx)f(x)

若x0,则有000;

x

f(xx)f(x)

若x0,则有000;

x

根据在可导的条件再由极限的保号性便得到

f(x)x0,,

fxxfx

(0)(0)

f(x0)f(x0)lim0;

x0x

fxxfx

(0)(0)

f(x0)f(x0)lim0;

x0x

f(x0)0.

2.罗尔〔Rolle〕定理

设函数f(x)满足条件：

1)在闭区间[a,b]上连续.

2)在开区间(a,b)内可导.

3)f(a)=f(b)

那么在(a,b)内至少存在一点，使

f()=0.

证f(x)在[a,b]连续,必有最大值M和最小值m.

(1)若Mm.则f(x)M.

由此得f(x)0.(a,b),都有f()0.

(2)若Mm.f(a)f(b),

最值不可能同时在端点取得.设Mf(a),

则在(a,b)内至少存在一点使f()M.

f(x)f(),

那么由费尔马定理,在(a,b)内至少存在一

点