2024—2025学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷（A卷）.docVIP

2024—2025学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷（A卷）

一、填空题

(★)1.关于的不等式的解集为__________．

(★)2.已知集合，则实数的取值范围为__________．

(★)3.已知集合，，则__________．

(★★)4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．

(★★)5.已知集合，且满足：“若则”，则满足条件的集合的个数为______．

(★★)6.已知函数是上的严格增函数，则实数的取值范围为______．

(★★)7.若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．

(★★★)8.关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为__________．

(★★★)9.已知关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围为__________．

(★★★)10.已知函数定义在上，且对任意的，，，都有，，则不等式的解集为__________．

(★★★★)11.已知函数，，且同时满足下列三个条件：

①对任意的，都有成立；

②对任意的，都有成立；

③对于，都有成立，

则__________．

(★★★)12.已知正数、、满足，，则的最小值为__________．

二、单选题

(★★)13.如果，那么下列不等式恒成立的为（）．

A．

B．

C．

D．

(★★)14.设集合，，则“”是“”的（）条件．

A．充分非必要

B．必要非充分

C．充分必要

D．既非充分又非必要

(★★★)15.已知，为常数，且，满足．若关于的方程只有一解，则的值的个数为（）．

A．1

B．2

C．3

D．以上都不对

(★★★★)16.已知，若存在，使得不等式能成立，则实数的取值范围为（）．

A．

B．

C．

D．

三、解答题

(★★)17.已知全集，集合，．

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围．

(★★)18.为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值．

(★★)19.教材中曾有例题证明“命题①在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；命题②在面积为常数的所有矩形中，正方形的周长最小．”于是我们联想到数学史上著名的等周问题：“在所有给定周长的平面曲线中，必存在一条封闭曲线，使其所包围的面积最大．”现将一边依墙脚线，围成或围成四边形．请完成以下问题：

(1)如图1，围成，两边之和，且，求的面积的最大值；

(2)如图2，围成平行四边形，且，求平行四边形的面积的最大值．

(★★★★)20.已知函数，其中．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）记点，求证：存在实数，使得点在函数图像上的充要条件是；

（3）对于给定的非负实数，求最小的实数，使得关于的不等式对一切恒成立.

(★★★★)21.若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数；

(1)若为区间的方正函数，求实数的值；

(2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由；

(3)设，，求非负实数的取值范围，满足：存在实数，使得均为上的方正函数．