2024—2025学年上海市敬业中学高三上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市敬业中学高三上学期期中考试数学试卷

一、填空题

(★)1.函数的定义域为__________________．

(★)2.不等式的解集为____________．

(★★)3.已知，则_______________．

(★★★)4.当时，的最小值为________．

(★★)5.设等比数列的前项和为，若，，则__________．

(★★)6.若，则_________________．

(★★)7.若，且，则tanα＝_________________．

(★★)8.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形，则它的体积为_________．

(★★)9.已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则恰有2名男生和2名女生的概率为________________________．（结果用分数表示）

(★★)10.在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为__________米．

(★★)11.如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为_________________．

(★★★)12.设，若实数，满足，且函数的图像可以无限接近直线但又永远不相交，则不等式的解集为_____________．

二、单选题

(★)13.设为虚数单位，若，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)14.某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（）

A．估计数学成绩的众数为75

B．

C．估计数学成绩的75百分位数约为85

D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50

(★★★)15.已知函数的图像与直线的相邻三个交点的横坐标分别为1，3，4，下列区间是函数的严格减区间的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)16.设奇函数的定义域为R，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（）

A．

B．

C．

D．

三、解答题

(★★★)17.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

(1)求角B；

(2)若△ABC的面积为，求a．

(★★★)18.在等差数列中，，且，，构成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．

(★★★)19.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)求直线GC与平面PCD所成角的正弦值.

(★★★)20.已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程；

(3)若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由．

(★★★★)21.设.

(1)若函数是实数集R上的严格增函数，求实数m的取值范围；

(2)已知数列是等差数列（公差），设，若存在数列使得数列也是等差数列，试求满足条件的一个数列；

(3)若，是否存在直线满足：①对任意的都有成立，②存在使得？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由.