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直线与圆的位置关系

本文介绍了直线与圆、圆与圆的位置关系。判断直线与圆

的位置关系常用的两种方法分别是几何法和代数法。几何法利

用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系，代数法则利用

判别式Δ来判断。圆的切线方程常用结论包括过圆上一点的

切线方程和过圆外一点的切线方程。圆与圆的位置关系可以用

代数法和几何法来判断，其中几何法利用圆心距d和两圆半径

r1，r2的关系来判断。文章最后给出了一些常用结论和思考题。

1.圆(x-1)^2+(y+2)^2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是()

A。相切

B。相交但直线不过圆心

C。相交过圆心

D。相离

答案：C

2.(2013·安徽)直线x+2y-5=0被圆x^2+y^2-2x-4y=0截得的

弦长为()

A。1

B。2

C。4

D。6

答案：C

3.两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x-

y+c=0上，则m+c的值等于________．

答案：2

4.(2014·重庆)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆

x^2+y^2+2x-4y-4=0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数

a的值为________．

答案：-6或6

题型：直线与圆的位置关系

例1：已知直线l：y=kx+1，圆C：(x-1)^2+(y+1)^2=12.

1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

2)求直线l被圆C截得的最短弦长．

思维点拨：直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联

立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定．

1)若直线ax+by=1与圆x^2+y^2=1相交，则P(a，b)()

A。在圆上

B。在圆外

C。在圆内

D。以上都有可能

2)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-3=0

被圆(x-2)^2+(y+1)^2=4截得的弦长为______．

答案：(1)B(2)5

题型：圆的切线问题

例2：

1)过点P(2,4)引圆(x-1)^2+(y-1)^2=1的切线，则切线方程

为__________；

2)已知圆C：(x-1)^2+(y+2)^2=10，求满足下列条件的圆

的切线方程：

①与直线l：x+y-4=0平行；

②与直线l：x-2y+4=0垂直；

③过切点A(4，-1)．

答案：(1)x=2或4x-3y+4=0

2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，

直线l：y=2x-4.设圆C的半径为1，圆心在l上．

1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，

求切线的方程；

2)若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐

标a的取值范围．

题型：圆与圆的位置关系

例3：已知两圆C1：x^2+y^2-2x+10y-24=0，C2：

x^2+y^2+2x+2y-8=0，则两圆公共弦所在的直线方程是

________________________．

1)圆C1和C2的位置关系可以通过计算它们的距离来判

断。设圆心分别为O1和O2，则它们的距离为√[(O1O2)²-(r1

+r2)²]，其中r1和r2分别为圆C1和C2的半径。如果距离小

于r1+r2，则两圆相交；如果距离等于r1+r2，则两圆相切；

如果距离大于r1+r2，则两圆外离。所以，根据题目中给出的

圆的方程，可以计算出它们的圆心和半径，然后计算它们的距

离，即可判断它们的位置关系，答案为D，内切。

2)设动点P的坐标为(x。y)，则根据题意，可以列出以下

方程：

x-3)²+(y-4)²=1.（圆C的方程）