2024—2025学年上海市南汇中学高一上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市南汇中学高一上学期期中考试数学试卷

一、填空题

(★)1.集合，集合，则______

(★★)2.“且”的否定形式是_____________.

(★★)3.已知集合，，则______

(★★)4.化简:_________.

(★★)5.已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是______.

(★★)6.已知不等式的解集为，则不等式的解集为_________.

(★★)7.若，则用来表示是_________.

(★★)8.已知集合，若，则实数k的取值范围是______

(★★)9.关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是_________.

(★★)10.已知存在使不等式成立，则实数的取值范围是_________.

(★★)11.已知为正实数，且，则的最小值为___________．

(★★★)12.对于任意实数表示不超过的最大整数，如，若，则A中所有元素之和为_________.

二、单选题

(★)13.若为非零实数，则下列不等式中成立的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)14.“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

(★★★)15.若a，b，c均为正实数，则三个数，，（）

A．都不大于2

B．都不小于2

C．至少有一个不大于2

D．至少有一个不小于2

(★★★)16.已知有限集，如果中的元素满足，就称为封闭集.给出下列结论:

(1)集合是封闭集

(2)若，且是封闭集，则

(3)若为正整数，则不可能是封闭集

(4)若是正整数，则封闭集有且只有一个，且.其中正确的命题个数是（）.

A．1

B．2

C．3

D．4

三、解答题

(★★)17.已知集合，集合.

(1)求

(2)若，求实数的取值范围.

(★★★)18.法国数学家弗朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为现代数学之父，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题:

(1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值

(2)已知是方程的两个根，求的值.

(★★★)19.某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.

(1)当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?

(★★★)20.问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题:

(1)若正实数满足，求的最小值

(2)若实数，正实数满足，求证:

(3)求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值.

(★★★★)21.对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.

（1）判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；

（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；

（3）若集合是“可分集合”.

①证明：为奇数；

②求集合中元素个数的最小值.