第04讲 基本不等式（解析版）.docx

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第04讲基本不等式

1.基本不等式

(1)基本不等式成立的条件:.?

(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.?

2.利用基本不等式求最值

已知,

(1)如果是定值,那么当且仅当时,有最小值,(简记为积定和最小).

(2)如果是定值,那么当且仅当时,有最大值,是(简记为和定积最大).

3.基本不等式的两种常用变形形式

(1)(,当且仅当时取等号).

(2)(,当且仅当时取等号)

4.几个重要的结论

(1)?().

(2)().

(3)().

考点一利用基本不等式求最值

1．（池州市江南中学高三月考）下列不等式中，正确的是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

A.当时，，故错误；

B.因为a2＋b2≥2ab，故错误；

C.由基本不等式得x2＋≥2，当且仅当时，取等号，故正确；

D.当时，，故错误；

故选：C

2．（贵溪市实验中学高三）若，则函数的最小值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【详解】

∵x＞2，∴x﹣2＞0，

∴，当且仅当，即x＝4时取等号，

∴函数的最小值为6.

故选：D.

3．（江苏高三）若，则的最小值为（）

A．2 B．3 C． D．4

【答案】D

【详解】

∵，∴，当且仅当即时等号成立．

故选：D．

4．（山东）“”是“，”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

，，当且仅当，即时取等号.

若时，则，，

因此“”是“，”的充分条件；

若，，则，即，推不出“”，

因此“”不是“，”的必要条件.

故“”是“，”的充分不必要条件.

故选：A.

5．（全国（理））已知，则在上的最小值为（）

A． B．

C．－1 D．0

【答案】D

【详解】

f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.

故选：D

6．（海南琼中中学）已知，求函数的最小值是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【详解】

由，即，

所以，

当且仅当，即时取“=”.

故选：D.

考点二利用常数代换法求最值

一、单选题

1．（全国高三专题练习（理））已知，，且，则的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，，且，

所以，

所以，

所以，即

当且仅当，

即，时等号成立，故的最小值．

故选：B.

2．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文））已知为正实数，且，则的最小值是（）

A．4 B．8 C．16 D．32

【答案】B

【详解】

由题意，正实数且，可得，

则，当且仅当时，即时等号成立，

所以的最小值是.

故选：B.

3．（山东高三专题练习）已知，且，则的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：因为，

所以，当且仅当，即取等号，

所以，所以的最小值为，

故选：C

4．（全国（文））已知，且，则的最小值是（）

A．2 B．6 C．3 D．9

【答案】D

【详解】

，

当且仅当，时取等号，

故选：D

5．（宁夏中卫·高三（文））若正数满足，则的最小值为（）

A．4 B． C．8 D．9

【答案】C

【详解】

解：因为正数x，y满足，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为8，

故选：C

6．（全国（文））已知，，，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

已知，，，

，

当且仅当，即，时，取号，

故选：B.

7．（全国高三专题练习（文））已知，且，则的最小值为（）

A．8 B．9 C．6 D．7

【答案】B

【详解】

因为，且，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故选：B.

8．（重庆）已知，，且，则的最小值是（）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【详解】

因为，，且，所以，

所以，

当且仅当，时，等号成立．

故选：C

9．（蚌埠铁路中学（文））若，，则的最小值为（）

A．6 B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为a＞0，b＞0，，

所以，当且仅当，即，时等号成立．

故选：B．

10．（全国（文））若，，则的最小值为（）

A．2 B．6 C．9 D．3

【答案】D

【详解】

因，，

则，当且仅当时取“=”，

所以时，取最小值为3.故选：D