《数值计算方法》课件2非线性方程的数值求解.ppt

2.1二分法

二分法又称区间对分法，是最直观、最简单的一种方法。2.1.1二分法原理若f(x)在[a,b]内单调连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a,b)内必有惟一的实根。实现：区间对分，去同存异2.1.2二分法计算步骤2.1.3二分法的收敛性2.1.4二分法的优缺点算法简单直观，易编程计算；只需连续即可；区间收缩速率相同，收敛速度慢；无法求复根和偶重根。例2-1p15二分法的本质是：缩小含根区间，使之达到精度要求2.2不动点迭代法2.2.1不动点迭代同解变换对收敛性很重要例哪个公式好？2.2不动点迭代法2.2.1不动点迭代?不动点迭代示意图（P16）?不动点迭代法步骤（P17）?不动点迭代算法流程图（P17）例2-2P172.2不动点迭代法2.2.2不动点迭代法的几何意义及收敛性?迭代法的几何意义是求迭代函数和y=x的交点的横坐标。xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=y=y=y=x0p0x1p1?x0p0x1p1?x0p0x1p1?x0p0x1p1?可以看出：若的变化幅度小于的变化幅度时，迭代公式收敛，否则，迭代公式不收敛。2.2不动点迭代法2.2.2不动点迭代法的几何意义及收敛性?关于全局收敛性的判定说明：式（2-1）的Lipschitz条件太强，不好验证。通常采用更强的条件全局收敛性定理2-12.2不动点迭代法2.2.2不动点迭代法的几何意义及收敛性例2-3P20?局部收敛性判定?局部收敛性定理2-2?收敛的阶?p阶收敛的定理2-3例2-4P22证明?迭代法的特点算法逻辑结构简单，便于机器实现；在计算时,中间结果若有扰动,仍不会影响计算结果；不同的迭代公式在收敛性、收敛速度上有差别。2.2不动点迭代法2.2.2不动点迭代法的几何意义及收敛性例例例2.3牛顿法与割线法2.3.1牛顿法原理与几何意义?牛顿法原理?牛顿法几何意义2.3牛顿法与割线法2.3.1牛顿法原理与几何意义?牛顿法步骤及流程图P242.3牛顿法与割线法2.3.1牛顿法原理与几何意义例2-5例用牛顿迭代法推导求的迭代公式，并求收敛的阶。2.3牛顿法与割线法2.3.2牛顿迭代法的收敛性例2-6P25证明yx0aby=f(x)x0(a)x0取靠近b一侧yx0aby=f(x)x0(b)x0取靠近a一侧yx0aby=f(x)x0(c)x0取靠近a一侧yx0aby=f(x)x0(d)x0取靠近b一侧牛顿法局部收敛的4种情形2.3牛顿法与割线法?牛顿法的特点与改进预测—校正型牛顿公式构造高阶迭代公式证明2.3牛顿法与割线法2.3.3割线法?割线法的几何意义

?割线法的计算步骤

?割线法的收敛性例2-7P27?割线法的特点收敛速度比较快，但比牛顿法慢；超线性收敛，收敛阶为1.618；无需计算导数，每步只需计算一次函数值；属于多点迭代，而牛顿法和一般迭代法属于单点迭代。2.3牛顿法与割线法2.3.3割线法2.3牛顿法与割线法2.3.4牛顿法求解代数方程2.4迭代法的改善与加速

一般的加速算法2.5.2埃特金（Aithen）加速算法2.4迭代法的改善与加速

2.4.1埃特金加速算法求解2.4迭代法的改善与加速

2.4.2牛顿法求重根时的改善