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谐振子的波函数

例题16-1已知一维无限深势阱的定态波函数为

,

试计算位置的平均值、动量的平均值和动能的平均值。

解根据求力学量平均值的方法，首先应将力学量表示为算符，

然后按下式求平均值：

.

位置的平均值：

;

动量的平均值：

;

为计算动能的平均值，先计算动量平方的平均值，这是因为动能

与动量之间存在下面的关系：

,

其中m是粒子的质量。动量平方的平均值为

.

由此可以求得动能的平均值，为

.

例题16-2已知一维谐振子的势能可以表示为，那么

(1)试证明波函数

是一维谐振子的定态波函数；

(2)求此波函数所对应的量子数和能级。

解

(1)要证明是一维谐振子的定态波

函数，就要验证此波函数是否满足一维谐振子的定态薛定谔方程

,

其中能量E必须是一维谐振子的本征能量。为此应先求出上述波

函数的二阶导数，代入上式，求出能量E，并观察其形式是否与一维

谐振子的本征能量形式相同，若相同，上述波函数就是一维谐振子的

定态波函数。

;

.

将上式代入一维谐振子的定态薛定谔方程中，得

,

即

.

由上式求得

.

可见E确实是一维谐振子的本征能量，所以题目所给波函数是一

维谐振子的定态波函数。

(2)一维谐振子的能级公式为

.

由上面所求得的本征能量表达式，可以得到

,

以上两式项比较，显然n=2。所以，题目所给波函数

,

对应于量子数n=2的能级。

例题16-3我们已经知道，当氢原子的量子数满足时，

量子态的电子概率的径向分布具有球对称性，试证明其最概然半径rn

与玻尔半径a之间存在rn=n2a的关系。已知当时，合流

超几何多项式F=1。

解在量子数满足时，氢原子的径向波函数可以表示为

,

电子概率的径向分布函数为

.

最概然半径rn应由下式决定：

,

即

.

由上式解得

,

化简后得